Platon var ingen matematiker och det är osannolikt att han uppfann något i matematik. Denna speciella formel krediteras Pythagoras av forntida matematiker och historiker för matematik Proclus; han säger detta i sina kommentarer till Euclid. Några specialfall kommer från babylonisk matematik.

Jag kollade inte med Proclus. Min källa är artikeln av I. Bashmakova, Diophantus of Alexandria och hans "Atithmetic", publicerad som inledning till den ryska översättningen av Diophantus (Moskva, Nauka, 1974).

Den enda slutsatsen som kan göras från Proclus uttalande är att vissa okända pythagoréer kände till denna formel, de var ett hemligt samhälle och tenderade att tillskriva allt till sin halvlegendariska grundare.

Namnen Pythagoras och Platon är associerade med metoder för att generera Pythagoras tripplar på grund av deras omnämnande i Proclus kommentar till Euclid. Såvitt jag har kunnat fastställa nämns emellertid inte en sådan metod i Platons befintliga verk, och, som har nämnts i kommentarerna, tillskrivning av något matematiskt resultat till Pythagoras eller för de tidiga medlemmarna i hans skola är problematiskt.

I sin kommentar till beviset på Pythagoras sats i bok I om element beskriver Proclus två metoder för att generera Pythagoras tripplar, och säger att den ena tillskrivs Pythagoras, den andra till Platon. Med hjälp av en anakronistisk algebraisk formulering ger "Pythagoras-metoden" trippel $$ \ left (n, \ frac {n ^ 2-1} {2}, \ frac {n ^ 2 + 1} {2} \ right) $$ för alla udda heltal $ n $ . Exempel är $ (3,4,5) $ , $ (5,12,13) ​​$ , $ (7,24,25) $ , $ (9,40,41) $ och $ (11,60,61) $ . Eftersom två element i varje trippel skiljer sig åt $ 1 $ är dessa helt klart primitiva.

"Metoden för Platon" ger $$ \ left (n, \ left (\ frac {n} {2} \ right) ^ 2-1, \ left (\ frac {n} {2} \ right) ^ 2 + 1 \ right ) $$ för alla jämnt heltal $ n $ . Detta motsvarar den formel du frågar om. Exempel är $ (4,3,5) $ , $ (6,8,10) $ , $ (8,15,17) $ , $ (10,24,26) $ och $ (12,35,37) $ . Om $ n $ är två gånger ett udda tal, ger metoden samma tripplar som "Pythagoras-metoden", men fördubblas. Om $ n $ är två gånger ett jämnt heltal är tripplarna primitiva eftersom två av deras element är på varandra följande udda siffror.

Frågan i frågan börjar på sidan 340 (plats 428.6) i Glenn R. Morrow's översättning av A Commentary of the First Book of Euclid's Elements. Här är det:

Vissa metoder har överlämnats för att hitta sådana trianglar, en av dem tillskrivs Platon, den andra till Pythagoras. Metoden för Pythagoras börjar med udda siffror, poserar ett givet udda tal som det lägre av de två sidorna som innehåller vinkeln, tar dess kvadrat, drar en från det och poserar hälften av resten som den största av sidorna om höger vinkel; sedan lägga till en till detta får den återstående sidan, den som täcker vinkeln. Till exempel tar det tre, kvadrerar det, subtraherar en från nio, tar hälften av åtta, nämligen fyra, lägger sedan till en till detta och får fem; och därmed finns den rätvinkliga triangeln med sidor om tre, fyra och fem, den platoniska metoden fortsätter från jämna siffror. Det tar ett givet jämnt antal som en av sidorna runt den rätta vinkeln, delar upp den i två och kvadrerar halvan, sedan genom att lägga till en i kvadraten får den subterande sidan och genom att subtrahera en från kvadraten får den andra sidan om rätt vinkel. Det tar till exempel fyra, halverar det och kvadrerar hälften, nämligen två, får fyra; sedan subtrahera en blir tre och lägga till en får fem, och därmed har den konstruerat samma triangel som nåddes med den andra metoden. För kvadraten av detta nummer är lika med kvadraten om tre och fyrkanten av fyra tillsammans.

Morrow hänvisar läsaren till sidorna 356–360 i Volym I i Heaths översättning av Element , där Heath presenterar några spekulationer om hur sådana metoder kan ha upptäckts. Från och med sidan 360 diskuterar Heath också långt om den tidiga kunskapen om Pythagoras teorem och Pythagoras tripplar i Indien som visas i Śulvasūtras.

Intressant nog, i avsnittet föregående citerat ovan diskuterar Proclus likbent och skalen till höger trianglar, vilket ekar Platons klassificering i Timaeus . Men bland skalana högra trianglar utmärker Platon $ 30 ^ \ circ $ - $ 60 ^ \ circ $ - $ 90 ^ \ circ $ triangel, för vilken, som Proclus noterar i fallet med den likbeniga högra triangeln, "du kan inte hitta siffror som passar sidorna" - så ingenting där om Pythagoras tripplar. Senare i avsnittet säger Proclus att det finns skalentrianglar för vilka "det är möjligt att hitta sådana siffror", vilket ger exemplet "triangeln i republiken där sidorna på tre och fyra innehåller rätt vinkel och fem undertrycker det ". I en fotnot säger Morrow att anspelningen troligen kommer att Rep. 546c. I min läsning engagerar det avsnittet sig i en komplicerad numerologi med siffrorna 3, 4 och 5, men säger ingenting om rätt trianglar. Om någonstans i Platon nämns Pythagoras tripplar, skulle det vara intressant, men jag har inte hört talas om en sådan passage.