Fråga:
Historiska rötter för motiveringen för regeln för multiplicering av negativa tal
Mauro ALLEGRANZA
2015-11-10 15:36:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Som en uppföljningsfråga med avseende på: Vem skrev ner minus gånger minus är lika med plus? och till: Hur definierade människor historiskt multiplikation för negativa tal? kan det vara intressant att spåra den första "moderna" motiveringen för regeln:

" minus multiplicerad med en minus gör ett plus".

Om det är ganska intuitivt att "om du har en skuld på $ 3 $ av $ 3 $ personer, då har du en skuld på $ 9 $ "( vi kan motivera att det minskar multiplikation till upprepad summa ) det är inte så lätt att föreställa sig en skuld på $ 3 $ av "minus" $ 3 $ personer.


För en (negativ) referens, se:

Se sidan 3:

Mängderna är antingen bekräftande eller större än ingenting, eller Negativt, eller mindre än ingenting. Således kan det i humana angelägenheter, innehav eller lager vara kalde bekräftande Varor och skulder negativa . [...] En negativ kvantitet betecknas av tecknet $ - $ ; tecknet $ + $ är prefix till ett bekräftande [. ..].

I ett antal mängder betyder anteckningen $ + $ att det antal som det är prefixad till ska läggas till, och anteckningen $ - $ , att den ska subtraheras. Och vi brukar uttrycka dessa anteckningar av orden Plus (eller mer ) och Minus (eller mindre ). Således $ 2 + 3 $ , eller $ 2 $ mer $ 3 $ , anger summan av siffrorna $ 2 $ och $ 3 $ , det vill säga $ 5 $ . Och $ 5-3 $ eller $ 5 $ mindre $ 3 $ , betecknar skillnaden som uppstår genom att $ 3 $ subduceras från $ 5 $ , det vill säga $ 2 $ . [ Observera den tydliga skillnaden mellan de två användningarna av tecknen $ + $ och $ - $ . ]

Se sedan sida 16:

Enkla algebraicktermer multipliceras genom att multiplicera siffrorna till siffrorna och arten in i arten och genom att göra produkten bekräftande, om båda faktorerna är bekräftande, eller båda negativa: och negativa om annat. Således $ 2a $ till $ 3b $ , eller $ - 2a $ till $ - 3b $ gör $ 6ab $ , eller $ 6ba $ ; ty det är ingen fråga i vilken ordning de placeras. Således också $ 2a $ av $ - 3b $ , eller $ - 2a $ av $ 3b $ gör $ - 6ab $ .


Användbara "post-newtonska" referenser:

om tecknen på multiplikator och multiplikator är bekanta (eller samma) kommer produkten att vara Bekräftande, men negativt om de är olika.

Förklaringen till fallet minus gånger minus är i termer av "symmetri", följt av ett intuitivt exempel:

Det tas i detta fall bort en negativ kvantitet genom vilken negationen försvinner. Så att ta bort en skuld är att betala den [betoning tillagd].


Det är bra att jämföra med den fullständigt "algebraiska" förklaringen med en av de mest lysande Newtons anhängare:

Enligt definitionerna $ + aa = 0 $ ; om vi multiplicerar $ + aa $ med $ n $ måste produkten försvinna eller vara $ 0 $ eftersom faktorn $ aa $ är $ 0 $ span >. [...] Därför ger $ - en $ multiplicerat med $ + n $ $ - na $ .

På samma sätt om vi multiplicerar $ + aa $ med $ - n $ , är den första produktens term $ - na $ , den sista termen för produkten måste vara $ + na $ , eftersom de två tillsammans måste förstöra varandra, eller så är de $ 0 $ , eftersom en av faktorerna ( viz . $ aa $ ) är $ 0 $ . Därför måste $ - en $ multiplicerat med $ - n $ ge $ + na $ .

"det är inte så lätt att föreställa sig en skuld på 3 med" minus "3 personer." Vad sägs om en skuld på 3, från 3 personer mindre? (Du har tre personer färre att betala skulden på 3). Det gör en besparing på 9, eller hur?
@AritraDas - bra poäng! Och detta verkar vara Wallis strategi nedan: om jag har en skuld på $ -3 $ från $ 3 $ folk, så har jag en total skuld på $ -3 \ gånger 3 = -9 $; men om jag tar bort skulden på $ 1 $ person är den totala kvarvarande $ -9-1 \ gånger -3 = -6 $.
Två svar:
Mauro ALLEGRANZA
2015-11-10 19:24:27 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Möjlig källa:

Om en positiv term på en kvantitet multipliceras med en positiv term av en annan kvantitet kommer produkten att vara positiv och om den blir negativ blir resultatet negativt. Konsekvensen av denna regel är att multiplicera ett negativt med ett negativt ger ett positivt, som när $ A - B $ multipliceras med $ D - G $. Produkten av $ + A $ och $ - G $ är negativ, men detta tar bort eller subtraherar för mycket eftersom $ A $ inte är den exakta storleken som ska multipliceras. På samma sätt är produkten av $ - B $ och $ + D $ negativ, vilket tar bort för mycket eftersom $ D $ inte är den exakta storleken som ska multipliceras. Den positiva produkten när $ - B $ multipliceras med $ - G $ kompenserar för detta.

Den geometriska tolkningen kan spåras till forntida grekisk geometrisk algebra; se Euclids element : II.7 och II.4.


För en "ren" algebraisk redogörelse , se:

Unde patet ratio tum hujus regulae, $ + $ i $ + $ facit $ + $; tum hujus $ - $ i $ + $ facit $ - $. [...] Indeque patet ratio tum hujus regulae, $ + $ i $ - $ facit $ - $; tum hujus, $ - $ i $ - $ facit $ + $.

"Motiveringen" är att multiplicera en given kvantitet med en positiv faktor är ponendi ("ubi $ + 2 $ significat bis ponere ") medan du multiplicerar den med en negativ faktor är tollendi ("ibidem $ -2 $ est bis tollere , seu bis ponere contrarium ").

Å andra sidan, -A $ $ $ $ -2 genom att multiplicera två gånger för att höja $ -A $, eller $ -A $ två gånger leveransfel, vilket är en $ + $ A plats två gånger, och gör $ 2B + $, ( så $ - $ a $ - $ a $ + $.)

Viete verkar bara motivera extra användning av negativ. Mumford betecknar Wallis avhandling som "* den första platsen i västerländsk litteratur där teckenregeln inte bara anges utan förklaras så tydligt *" för negativa som sådana. I hans översättning är det sista avsnittet: "* Men att multiplicera –A med −2 är två gånger för att ta bort en defekt eller negativ. Nu är att ta bort en defekt samma som att leverera den, och två gånger för att ta bort defekten av A är samma som två gånger för att lägga till A eller för att sätta 2A * "http://www.dam.brown.edu/people/mumford/beyond/papers/2010b--Negatives-PrfShts.pdf (s.137).
Mark Messa
2015-11-13 23:02:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Historiska rötter för motiveringen för regeln för multiplicering av negativa tal"

Detta var en pågående utvecklingsprocess, det är omöjligt att hitta någon och ge honom all kreditera. Under hundratals år (kanske tusentals) köpmän och revisorer litade mycket på sådana regler för sin bokföring, även utan en formell beskrivning från matematikerna om vad negativa siffror var.

Nämnde detta, förmodligen den första som ange sådana regler var den indiska matematikern Brahmagupta på 700-talet:

Produkten av ett negativt och ett positivt är negativt, av två negativt positivt och positivt positivt; produkten av noll och ett negativt, av noll och ett positivt, eller av två nollor är noll.

Vid den tiden fanns inget begrepp med talrad (John Wallis på 1600-talet) eller vektorer (1900-talet). Hans bevis borde bara ha baserats på enklare begrepp. Det enklaste beviset är att alla egenskaper hos elementära aritmetiska operationer måste vara desamma oavsett om talet är positivt eller negativt. Med andra ord måste fördelningsegenskapen vara giltig även för negativa tal:

(-1). 0 = 0
(-1). (1 + (-1)) = 0
(-1) .1 + (-1). (- 1) = 0
(-1) + (-1). (- 1) = 0
(-1). (- 1) = 1



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...