Fråga:
Hur upptäcktes derivat av trigonometriska funktioner först?
user3339
2015-12-06 08:15:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

När man bevisar dem på det "moderna" sättet (från de första principerna) verkar det omöjligt att komma runt och bevisa identiteterna $$ \ lim_ {x \ till 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 $$ och den relaterade $ \ cos $ -gränsen. Detta kräver i sig en del geometriska resonemang och använder den definition av radianer som vi har idag.

Men folk visste säkert att $ (\ sin \ theta) '= \ cos \ theta $ och så vidare långt innan gränserna kom handla om. Är det bara uppenbart? Hur skulle de ha motiverat det?

Ursprungligen från https://math.stackexchange.com/questions/1561138/how-were-derivatives-of-trigonometric-functions-first-discovered-sin-theta.
Tänk på en triangel som $ \ angle $ och vad $ \ sin $ egentligen är, formen ska vara ganska uppenbar. Förändringshastigheten visualiseras enkelt. Vad du pratar om är mer verklig analys och det finns lite bakgrund innan det verkligen. Men du kan använda "ungefärliga approximationer" och notera att när $ x $ är liten $ \ sin (x) $ är i princip $ x $, så får du $ \ frac {x} {x} = 1 $ - det här är A -nivå, inte formell. Som jag sa för formell behöver du riktig analys och matematisk erfarenhet.
Men hur skulle de ha motiverat approximationen med liten vinkel? Visste och använde de det? Använde de ens radianer? Jag vet hur man formellt bevisar det, det är inte vad jag frågar. Jag frågar hur det ursprungligen upptäcktes.
Genom att tänka på en bild av en triangel i huvudet.
Jag letar efter historiska referenser :)
Ja, försökte du hitta någon? Barn lärs ut trig i år 9 här som är 15 år gammal och vilken gradient en linje är och vilken tangentlinje som är. Föreställ dig en triangel i ditt huvud (en rätvinklig) som $ \ vinkel $ och nu gradvis öka vinkeln där de två ritade linjerna möts. För små vinklar växer den långsammare, men när det är nästan $ 90 ^ \ circ $ växer det MYCKET snabbt för små vinkelförändringar, DU HAR UPPTÄCKT $ \ tan $ - historiska referenser för faktiska problem är värt det, men vi kan säkert säga att gamla bra Pythagoras visste om detta! Jag tvivlar på att någon tyckte att det var värt att rapportera.
Med "historiska referenser för faktiska problem" menar jag när experter började bygga på varandras arbete och sådant. Jag har haft att göra med trianglar sedan jag började spela med Knex och kunde uppskatta vilken stav jag skulle behöva för vissa vinkeländringar (hur många storlekar upp / ner för att gå i förhållande till $ 45 ^ \ circ $) - det här är inte värt Rapportera. Precis som den första killen som undrade hur cykelväxlar fungerade är det inte. Det större kedjehjulet kan dra mer kedja, den lilla tar mindre kedja för att göra en rotation, inte värd att rapportera.
@JoelReyesNoche Tack, gjorde det. Jag håller den här öppen för att se om jag får några bitar.
Om vi ​​istället för radianer använder några andra enheter som är lika med $ k $ radianer, får vi bara $ (\ sin kx) '= k (\ cos kx)' $, dvs den momentana ökningen av sinus i en viss vinkel är konstant multipel av cosinus i den vinkeln. Och detta specifika faktum var känt för Manjula (omkring 932) och Aryabhata II (omkring 950) och gavs uttryckligen med geometriskt resonemang av Bhaskara II (omkring 1150) redan före Madhavas allmänna kalkyl- eller kraftserie (omkring 1500). Se _Indian Journal of the History of Science_ 19 (2): 95–104 (1984), "Use of Calculus in Hindu Mathematics" av Datta / Singh / Shukla.
Fyra svar:
KCd
2015-12-06 11:09:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Försökte du leta i några böcker om beräkningen? Följande är hämtat från "The Historical Development of the Calculus" av CH Edwards (s. 205 ff).

Den inversa sinusfunktionen (för radianvinklar i första kvadranten) kan relateras till ett område under en båge av enhetscirkeln, som är $ y = \ sqrt {1-x ^ 2} $ i den första kvadranten. Newton visste från sin upptäckt av den binomiella expansionen för rationella exponenter hur man skriver $ \ sqrt {1-x ^ 2} $ som en kraftserie, som han sedan kunde integrera termvis. På detta sätt hittade han kraftserien för $ \ arcsin x $. Sedan inverterade han den serien tills han kände igen mönstret för att "etablera" kraftserien $ \ sin x $, från vilken han kunde hitta kraftserien för $ \ cos x $ som serien för $ \ sqrt {1- \ sin ^ 2x} $ med konstant löptid $ 1 $. Från kraftserieutvidgningarna på $ \ sin x $ och $ \ cos x $ är det tydligt att $ \ sin'x = \ cos x $.

Kraftserien för $ \ sin x $ och $ \ cos x $ var kända i Indien långt innan de hittades av Newton. Se https://en.m.wikipedia.org/wiki/Madhava_series.

Även om kraftserieformlerna avslöjar derivaten av sinus och cosinus för oss är det inte fallet att Newton eller Leibniz på 1600-talet tog detta steg. De trigonometriska funktionerna betraktades inte systematiskt som funktioner som skulle graferas och har ett derivat. Euler, på 1700-talet, var den som först integrerade trigonometriska funktioner i kalkylen. Se "Beräkningen av de trigonometriska funktionerna" av Victor Katz, som är tillgänglig online på http://ac.els-cdn.com/0315086087900644/1-s2.0-0315086087900644-main.pdf?_tid=a15b6d9e -9c37-11e5-b17b-00000aacb35e&acdnat = 1449420025_6f4ed309a5aed67668cf37b14c276280.

Också mycket hjälpsam: Avsnitt 9.5 i [den här boken] (https://books.google.com/books?id=q8H3CwAAQBAJ&pg=PT205&lpg=PT205&dq=newton+arcsin+derivation&source=bl&ots=iw_ai7RcXW&sig=jfVRlFWa9nRk&c== 0ahUKEwjorOue2KHYAhVJOSYKHTnwDgEQ6AEIQzAE # v = onepage & q & f = false) på Google Böcker.
ShreevatsaR
2016-02-22 07:12:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kunskap om det specifika faktum att $ (\ sin x) '= \ cos x $ faktiskt föregår den allmänna kunskapen om kalkyl och derivat. Det var känt i följande form: att för mycket små $ \ Delta x $, när du ökar $ x $ till $ x + \ Delta x $, ökar värdet på sinus, från $ \ sin x $ till $ \ sin (x + \ Delta x) $, är proportionell mot $ \ Delta x $ gånger $ \ cos x $. Med andra ord, $$ $$ frac {\ sin (x + \ Delta x) - \ sin x} {\ Delta x} \ approx \ cos x $$ Ungefärlig uppskattning är exakt i gränsen som $ \ Delta x \ till 0 $ är naturligtvis den moderna definitionen av derivatet.

Detta hände historiskt i indisk matematik, där Muñjala (cirka 932), Āryabhaṭa II (cirka 950), Prashastidhara (cirka 958) alla ger ovanstående regel för beräkning av $ \ sin (x + \ Delta x) $, och ett uttryckligt geometriskt resonemang / motivering ges av Bhāskara II (omkring 1150) i sin Siddhanta Shiromani. Jag har inte hittat en helt bra referens till dessa, men du kan börja med följande artikel:

  • Användning av kalkyl i hinduisk matematik av Bibhutibhusan Datta och Awadhesh Narayan Singh, reviderad av Kripa Shankar Shukla, Indian Journal of the History of Science, 19 (2): 95–104 (1984). ( PDF)

Det påpekades först av Bapu Deva Shastri i Bhaskaras kunskap om Differential Calculus, Journal of the Asiatic Society of Bengal, Volym 27, 1858, s. 213–6.

Jag minns att jag har sett ett papper från Pascal som förklarar begreppet "triangel inassignable" (på engelska, ungefär "försvinnande triangel"), som var mer eller mindre en rektangulär triangel med sidorna dx, dy (jag använder notationer som kommer att visas ungefär 60 år senare än hans skrivande). Se på webben tidningen (på franska): La «géométrie calculante» de Pascal, dans le traité des sinus du quart de cercle et dans le traité des trilignes rectangles (av Merker, Université de Franche-Comté).
@JeanMarieBecker Tack, det är intressant (http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/publications/Merker-Geometrie_calculante_de_Pascal.pdf). Det kommer att kräva lite ansträngning för mig att gå igenom franska, men det är inte förvånande att denna typ av geometriska resonemang för trigonometri föregår (även i århundraden) en allmän beräkning av godtyckliga funktioner.
URL för föreläsning av Claude Merker har ändrats: nu på http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/seminaire/publications/Merker-Geometrie_calculante_de_Pascal.pdf
ramana_k
2020-07-09 20:53:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag antar att den första upptäckten och efterföljande motiveringen kan ha gjorts bara genom att prova några beräkningar, som nedan. Nuförtiden kan vi använda Excel för denna typ av utredning.

enter image description here

Nej, det är tvärtom. För att göra denna beräkning måste du veta värdet på $ \ pi $. Men värdet på $ \ pi $ beräknades med formeln $ \ sin (\ pi / n) \ approx \ pi / n $ för några stora $ n $. Se mitt svar.
Alexei, så din poäng är att för att beräkna Sin (x) måste vi använda värdet på pi. Men Sin (x) har använts historiskt för att beräkna pi, vilket gör definitionerna av Sin (x) och pi cirkulära. Är det rätt?
Nej, du behöver inte beräkna pi för att beräkna sex x. Du kan till exempel beräkna sin (30 °) eller sin (15 °) utan att veta vad pi är. Men om du vill översätta 15 ° till radianer behöver du pi: 15 ° = pi / 12. Och du måste använda radianer för att uppskatta att sin (x) / x ≈1.
Alexei Kopylov
2020-07-09 22:36:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Formellt gäller $ (\ sin x) '= \ cos x $ endast om du mäter x i radianer. Så du måste använda radianer för detta faktum ändå. Om du vill ignorera detta kan du säga att Euclid visste att gränsen för $ \ frac {\ sin x} {x} $ är 1, åtminstone när $ x = 2 \ pi / n $ och $ n \ rightarrow \ infty $ . Naturligtvis använde Euclid inte radianer, synd och lim, men han bevisade att skillnaden mellan området för en cirkel och området för en inskriven höger polygon kommer att bli godtyckligt liten eftersom antalet sidor blir stor (genom utmattningsmetod). Området för höger n-gon inskrivet i en cirkel med radie 1 är $ \ frac 12 n \ sin (2 \ pi / n) $ . Så med hjälp av vår notation kan vi säga att Euclid bevisade att $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac 12 n \ sin (2 \ pi / n) = \ pi. $$ Detta motsvarar $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {\ sin (2 \ pi / n)} {2 \ pi / n } = 1. $$ Btw, som användes av Archimed för att uppskatta $ \ pi $ : han approximerade $ \ pi $ efter område 96-gon. Det vill säga han beräknade $ \ sin (2 \ pi / 96) $ och använde den $ 2 \ pi / 96 > \ sin (2 \ pi / 96) $ . Och för att bevisa den övre gränsen använde han $ x< \ tan x $ .



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...