Nej, Cantor "vann" inte av en mycket enkel anledning: loppet är inte över. Cantor kan vara i spetsen, men det finns ingen anledning att tro att Kronecker (eller någon annan) inte kommer att vara i spetsen om 100 eller 200 år framöver. Det är också felaktigt att säga att X är grunden för matematik. Det finns flera konkurrenter för den titeln, och det bästa alternativet (IMO) är att det inte finns någon riktig "grund" för matematik.

P.S. De största konkurrenterna idag är kategoriteori och (Homotopy) typteori. Det finns förmodligen andra, men dessa två är ganska kända.

Mycket så. Idag skulle någon som argumenterar för Kroneckers position betraktas som en vev (som en finitist). Kronecker argumenterade för mer än bara "konstruktiv matematik"; han trodde saker som:

• Det finns inte en uppsättning som innehåller alla delmängder av en oändlig uppsättning (som heltal eller rationella).
• Den kapslade intervallegenskapen (som alla oändliga sekvenser av kapslade slutna intervall har en gemensam punkt) kan misslyckas (även i konstruktiv matematik gäller den här egenskapen för sekvenser som ges av en algoritm).
• Följaktligen trodde han att irrationella och transcendentala tal inte existerar ( det finns konstruktiva bevis på att siffror som $ \ pi $ och $ e $ existerar, och alla klassiska bevis vars resultat är en negation är också giltiga i konstruktiv logik, så de är transcendentala).
• Av liknande skäl, Kroneckers argument skulle innebära att det inte finns någon uppsättning av reella tal (även om individuella irrationella eller transcendentala nummer beviljades existera).
• Och i allmänhet skulle Kronecker förneka existensen av oräkneliga siffror tog för givet att de verkliga siffrorna var oräknbara).

Så det finns en lång lista av förslag som Kronecker höll för att moderna konstruktivister inte tror; de kan kritisera aspekter av Cantors uppsättningsteori men inte hela konceptet med oändliga sätt som Kronecker gjorde.

Uppsättningsteori fanns redan innan Cantor använde den för att teoretisera sin uppfattning om kardinaler. Det är då ett misstag att koppla hans namn enbart till uppsättningsteori, och personligen tror jag att han själv skulle vara förskräckt över att bli så hedrad. Som nästan alla stora matematiker visste han hur mycket han var skyldig både sina kollegor och hans förfäder.

Det är också ett misstag att tänka på matematik som en tävling eller ett lopp. Att göra det är att förvandla det till ett slags salongspel, vilket det med eftertryck inte är. Mer politiskt sett är det symptomatiskt för nyliberalism - en horisont under vilken vetenskapen som helhet inte lyckas som den borde - vilket kanske är poängen med nyliberala disciplinära system.

Så svaret på din fråga är - det är fel fråga.

Kronecker vann, Cantor förlorade. Massor av material som bevisar detta fall finns i https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

EDIT

I kapitel V har Mückenheim samlat en enorm mängd över 250 kritiska röster, varav de flesta vägrar direkt uppsättningsteori eller dess grundläggande antagande, nämligen faktisk eller fulländad oändlighet.

Vidare tillämpar han matematisk gränsteori för analys för att visa att inte alla rationella tal kan avbildas på naturliga tal. Det faktum att varje rationell kan kartläggas på sin egen natur är irrelevant, säger han, eftersom varje rationellt tal tillhör ett ändligt initialt segment som följs av potentiellt oändligt många rationella . Den matematiska gränsen för de ej kartlagda rationella är oändlig. Han ger övertygande bevis och ett formellt bevis som, såvitt jag vet, aldrig har motbevisats. Så om uppsättningsteorin tas som den är, strider den mot analysen och kan därför inte utgöra dess grund. nummer definierat såvida inte den sista siffran är känd. Om bara en rad siffror ges - utan en begränsad formel som "0.111 ..." som definierar sekvensen - är inget riktigt tal fast. Därför ger Cantors diagonala argument inte ett fast reellt tal, än mindre ett transcendentalt tal. De ändliga formlerna som de som är kända för $ e $ eller $ \ pi $ är dock räknade. Förresten, även Hessenberg, en stark anhängare av uppsättningsteori och författare till det berömda otalbarhetsbeviset som använder alla underuppsättningar av de naturliga siffrorna, har erkänt att "ett uttalande om det antal som definierats av den processen, som endast berörde det numret, skulle vara möjligt först efter att processen är klar - och den här processen kan inte slutföras. "

Slutligen visar Mückenheim att om man antar räknaren för uppsättningsteorin (i motsats till att den står i motsats till analysen), kan alla tankeobjekt räknas upp av deras rationella rum-tidsmässiga koordinater även i ett oändligt och evigt universum. Därför finns det inget oräkneligt.

Det finns många andra argument. Men jag skulle rekommendera att först läsa uttalandena i kapitel V. De visar att överlägset inte alla matematiker går med på Cantors seger över Kronecker.