Fråga:
Ursprung och historia av grenad täckning
Thomas
2016-08-13 14:53:35 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Under min forskning om förgrenade täckningar av det projektiva planet är jag intresserad av att känna till ursprunget och historien om förgrenade täckningar av det projektiva planet och den projektiva linjen, tillsammans med uppkomsten av begreppet "grenpunkt" eller "gren kurva "(resp." förgreningspunkter "eller" förgreningskurva "). Det verkar som om den moderna uppfattningen utvecklades av Zariski och Segre under 20- och 30-talet av 1900-talet, och exemplet med Zariski-Segre av grenkurvan av grad 6 (med 6 kusar på en konisk) av en kubisk yta projiceras generiskt till det projicerande planet, är välkänt. Men fanns det andra matematiker före dem som hjälpte till att konceptualisera detta koncept?

Tack, Thomas

Ett svar:
Margaret Friedland
2016-08-14 01:43:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Teorin om grenade (eller förgrenade) täckningar har sitt ursprung i fortsättning av analytiska funktioner och försöken att hitta maximala analytiska fortsättningar av en given funktion. Vissa komplexa funktioner, t.ex. $ f (z) = z ^ {1/2} $ är flera värderade i vissa underdomäner av det komplexa planet, så när man försöker fortsätta längs den stängda kurvan kan man komma fram till en annan gren av den flervärda funktionen, inte den ursprungliga , så det värderade matchar inte. Idén med Riemann-ytor erbjuder ett geometriskt sätt att hantera detta problem genom att införa en Riemann-yta som den naturliga domänen för $ z ^ {1/2} $ och liknande för andra besvärliga funktioner. Man kan föreställa sig Riemann-ytan för $ z ^ {1/2} $ som två ark som sammanfaller till $ z = 0 $. Riemann-ytorna uppträdde i Bernhard Riemanns inledande avhandling 1851, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/Grund.pdf, och anses vara den första exempel på täckning av utrymmen.

Tack! det här är täckningar av den komplexa linjen, eller hur? eftersom $ f $ fungerar från $ \ mathbb C ^ 1 $ till $ \ mathbb C ^ 1 $. När forskningen av grenkurvor (dvs. av beläggningar av det projektiva komplexa planet) började?
Ja, en (kompakt) Riemann-yta associerad med en algebraisk funktion är en täckning av den projektiva linjen (= Riemann-sfär), och omvänt, om en meromorf funktion $ f: M \ to \ hat {mathbb {C}} $ definierad på en kompakt Riemann-yta är en $ n $ -foldig täckning av Riemann-sfären, då är denna funktion algebraisk. Kompakta Riemann-ytor är exakt projektiva algebraiska grenrör av komplex dimension ett. Jag har dock inte god historisk information om högre dimensioner.


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...