Fråga:
Varför är Sophie-Germains identitet populär?
tatan
2015-10-28 07:23:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Sophie Germains identitet handlar bara om att faktorisera $ a ^ 4 + 4b ^ 4 $ som produkt av två rutor. Det är inte riktigt svårt. Så varför är det så populärt?

Denna fråga besvaras här http://hsm.stackexchange.com/questions/2786/why-is-the-sophie-germain-identity-called-thus/2796#2796 delbarhet, och så finns det lösningar på matematiska olympiadproblem.
Två svar:
KCd
2015-10-30 02:05:13 UTC
view on stackexchange narkive permalink

För vilket fält $ K $, $ c \ i K ^ \ gånger $ och heltal $ n > 2 $, när är $ X ^ n - c $ irreducible över $ K $? Ett nödvändigt villkor är att för varje primtal $ p $ som delar $ n $ är $ c $ inte en $ p $ th effekt i $ K $; annars skulle $ X ^ p - c $ vara reducerbart över $ K $ (en linjär faktor), så $ X ^ n - c $ skulle också kunna reduceras över $ K $. Det visar sig att detta nödvändiga villkor är tillräckligt utom om $ 4 \ mid n $, i vilket fall vi också måste kontrollera $ c $ inte har formen $ -4d ^ 4 $ för några $ d $ i $ K $ just på grund av den "oväntade" faktoriseringen av $ X ^ 4 + 4d ^ 4 $ över $ K $.

Den enda subtiliteten för att bestämma irreducerbarheten av $ X ^ nc $ över $ K $ beror alltså på den typ av faktorisering som går tillbaka till Sophie Germain.

Langs Algebra ägnar ett avsnitt åt studien av $ X ^ n - a $, och dess oreducerbarhet är det första huvudresultatet han beskriver.

Kushal Bhuyan
2015-10-28 09:38:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

På grund av sin enkelhet antar jag. Identiteten är $ a ^ 4 + 4b ^ 4 = (a ^ 2 + 2b ^ 2-2ab) (a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab) $. Identiteten är lätt att verifiera men svår att komma till i första hand. Vi är bekanta med $ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) $, men inte med typen $ a ^ 2 + b ^ 2 $ delning som två faktorer. Att känna till summan kan också tas med av en sådan identitet, det är till hjälp i talteori, speciellt fakturering av nummer, bestämning av ett stort antal är primärt eller inte. Du kan kolla här för ett exempel.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...