Medan Nick R i sitt svar antar att från Boyers skrivning beror formeln på De Moivre, jag tycker att det är vilseledande och den första härledningen av formeln du frågar om borde verkligen krediteras Laplace.

De Moivre arbetade med binomial approximation till normalfördelningen, och hans approximation innebar en konstant $ B $ (jag tar den notationen från De Moivres papper på York University-webbplatsen som Nick R länkar till i hans svar). De Moivre kunde uttrycka $ B $ som en serie men han kunde inte uttrycka $ B $ i sluten form. Stirling berättade för honom att $ B = \ sqrt {2 \ pi} $, utan bevis, och med denna ledtråd kunde De Moivre senare härleda den fina formeln för $ B $ med Wallis-produkten för $ \ pi $. Den viktigaste punkten jag vill göra är att i inget av detta arbete (från 1720-talet) använde De Moivre direkt något som en integral av $ e ^ {- x ^ 2} $ för att göra några beräkningar.

Ett bättre papper att titta på på York Universitys webbplats är här.

Det första beviset på den integrerade formeln du frågar om var författaren använde integraler gavs av Laplace på 1770-talet. Han skrev formeln (efter förändringen av variabler $ y = e ^ {- x ^ 2} $) som $$ \ int_0 ^ 1 \ frac {dy} {\ sqrt {- \ log y}} \, dy = \ sqrt {\ pi} $$ och härledde detta från en formel för integraler på grund av Euler.

Se här för många bevis på integralformeln du frågar om. Det åttonde beviset är Laplaces argument som jag hänvisar till ovan och förklarar hur det använder ett resultat av Euler, och det tionde beviset visar att denna formel motsvarar att identifiera konstanten i Stirlings asymptotiska uppskattning för $ n! $ Som $ \ sqrt {2 \ pi} $. Det andra beviset är ett mycket trevligare alternativt bevis av Laplace som är en föregångare till standardprovet genom att kvadrera integralen och överföra till polära koordinater; Laplaces alternativa argument kvadrerar integralen och gör en annan förändring av variabler.

Se slutet av detta för en diskussion om hur De Moivres arbete med binomial approximation till normalfördelningen skärs med Stirlings arbete med Stirlings formel, och hur Stirling hittade den konstanta $ \ sqrt {2 \ pi} $ i sin formel.

Enligt Boyers A History of Mathematics var Abraham De Moivre den första som "arbetade" med denna formel efter att ha fått den i en privat tryckt broschyr. Citera Boyer:

De Moivre var tydligen den första som arbetade med sannolikhetsformeln $$ \ int_ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- x ^ 2} \, dx = \ frac {\ sqrt \ pi} {2} $$ som ett resultat som framträdde diskret i en privat tryckt broschyr från 1733 med titeln Approximatio ad summam terminorum binomii $ (a + b) ^ n $ i seriem expansi . Detta arbete, som representerar det första framträdandet av fellagen eller distributionskurvan, översattes av De Moirvre och inkluderades i den andra upplagan (1738) av hans Doctrine of Chances .

Om det saknas tydlighet i Boyers formulering, krediterar wikipedia-sidan på De Moivre De Moivre som författare till broschyren. Man antar att De Moivre därför var den första som härledde det.

Se även denna uppsats på York Universitys webbplats.