Från Milnes webbplats:

Det finns två olika ord på franska, "étaler", vilket betyder spridning eller visning och används i "éspace étalé" och "étale", vilket är sällsynt utom i poesi. Enligt Illusie är det den andra som Grothendieck valde för étale morfism. Petit Larousse definierar "mer étale" som "mer qui ne monte ni ne descend", dvs. havet vid hög- eller lågvattenpunkten. Till exempel finns det citatet från Hugo som jag inkluderade i min bok "La mer était étale, mais le reflux commencait a se sentir". Jag tror att Grothendieck valde ordet eftersom sättet han föreställde etalemorfismer påminde honom om ett lugnt hav på hög tidvatten under fullmånen (lokalt nästan parallella ljusband, men inte globalt). Jag tycker den här bilden är vacker. En fotnot i Mumfords Red Book on AlgebraicGeometry säger: "Ordet hänvisar uppenbarligen till utseendet på tesea vid högvatten under fullmåne i vissa typer av väder."

Milne länkade också detta bild

Användningen av étale föregår SGA och "spridning" passar Grothendiecks idé om allomfattande topos, "vidsträckt" och "slack", bättre än vanligt, när allt detta går. Namnet på taliga morfismer härrör från det. Fransk étaler kommer också från gamla franska estal, vilket innebar position / plats, samma som grekiska topos, även om det är oklart om det också var avsett. Se Vilka är fördelarna med att titta på en kärv ur perspektivet "espace étalé"? på Math Overflow för en mer matematisk diskussion.

Här är Grothendiecks egen förklaring från Récoltes et Semailles:

" Det avgörande här, ur Weil-gissningens synvinkel, är att den nya uppfattningen [av rymden] är tillräckligt stor för att vi till varje schema kan associera ett "generaliserat utrymme" eller "topos" (kallat "étale topos" för det aktuella schemat.) Vissa "kohomologiska invarianter" av dessa topos ("barnsliga" i sin enkelhet !) tycktes ha en god chans att erbjuda ”vad som krävs” för att ge gissningarna sin fulla mening, och (vem vet!) kanske för att ge medlen för att bevisa dem. "

Idén var en del av Grothendiecks allmänna strategi för att bevisa Weil-antagandena, vilket Serre förklarade för honom i kohomologiska termer 1955. Étale omslag inspirerades av Serres "isotrivial covers". Som McLartys kommentarer i The Rising Sea:

" Kohomologi ger algebraiska invarianter av en topos, precis som den gav invarianter av ett topologiskt utrymme. Varje topologiskt utrymme bestämmer en topos med kavkoomologin. Varje grupp bestämmer en topos med gruppkohomologin. Samma , Visste Grothendieck, skulle fungera för fall som ännu inte var föreställda ... För Weil-antagandena återstod det bara att hitta de naturliga topos för varje aritmetiskt utrymme - påminna om att fram till 1956 var själva utrymmena inte tillräckligt definierade. "Toposer" kom till Grothendieck som sättet att kombinera sin systemteori med Serres idé om isotrivial omslag och producera kohomologin. "

Denna strategi sattes i gång i samarbete. med Artin i början av 1960-talet, tiden för SGA, se Jacksons som om kallad från det ogiltiga:

" När Grothendieck kom till Harvard i 1961, "Jag bad honom att berätta för mig definitionen av entalig kohomologi," minns Artin skrattande. jon hade ännu inte formulerats exakt. Sa Artin, "Vi argumenterade faktiskt om definitionen för hela hösten". Efter att ha flyttat till Massachusetts Institute of Technology 1962, gav Artin ett seminarium om enastående kohomologi. Han tillbringade mycket av de följande två åren på IHÉS i arbetet med Grothendieck. "

Den matematiska terminologin "étalé" [utbredd] användes av Grothendieck i hans Tohoku-papper 1957 och fanns redan vid den tiden.

Grothendieck, A. (1959). Nedstigningsteknik och existenssatser i algebraisk geometri. I. Allmänt. Nedstigning av troget platta morfismer. Séminaire Bourbaki, 5, 299-327.

innehåller avsnittet

... $ f [: T \ to S] $ sägs vara talande eller igen kallas $ f $ spread, eller $ T $ sägs spridas över $ S $ ...

Från detta verkar det som om Grothendieck ville ha ett adjektiv för en karta vars domän $ T $ är étalé över $ S $ och valde adjektivet étale [lugn, slapp, fortfarande] på grund av dess formella likhet med étalé. Detta är möjligt eftersom betydelsen av étale råkar vara rimligt tillämplig.

Den grundläggande bilden att tänka på är hur ett grenrör beskrivs i termer av en atlas. Detta är mer eller mindre exakt samma som en atlas som man skulle ha sett i en bok innan tekniken kom och gjorde detta åt oss.

Minns att varje sida i en atlas täcker en del av landskapet för att beskrivs och dessutom finns det ett område med överlappning på de fyra sidorna av varje sida med andra sidor. Att matcha dessa överlappningar på atlasen beskriver hela landskapet.

Grothendieck tog denna beskrivning av en atlas som en ny beskrivning av en topologi, den så kallade Grothendieck-topologin som var tillräckligt flexibel för att beskriva generaliseringar av grenrör i sammanhang. där den klassiska beskrivningen inte gäller.

Termen "etale" kommer från denna beskrivning. Föreställ dig landskapet och varje sida i atlasen ovanför landskapet, då ligger de "platt" och "sprider sig" över landskapet ". I själva verket är vad man gör att ta den ojämna sammansättningen av alla dessa sidor, och samma bild gäller, den ligger (snarare än "de" eftersom vi har löst samman sidorna) "platt" och är "utspridda". Därav termen etalemorfism, en morfism som ligger platt och sprider sig över rymden.