Fråga:
Ursprunget till noteringen $ \ ll $
Luke Collins
2020-02-25 07:23:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vinogradov introducerade notationen $$ f (x) \ ll g (x) $$ för att beteckna att för vissa $ C>0 $ , vi har $ | f (x) | \ leqslant C \, g (x) $ för alla $ x $ under övervägande; vanligtvis för alla $ x $ större än en fast konstant (motsvarande $ f (x) = O (g (x)) $ används).

Jag har också blivit medveten om att detta ibland används i mindre formella inställningar för att betyda $ A $ span > är "mycket mindre än" $ B $ ( $ A \ ll B $ ). Min fråga är, var kom denna notation ifrån och vad användes den först? Uppfann Vinogradov det, eller användes det i denna informella bemärkelse innan det?

Två svar:
Conifold
2020-02-25 20:05:11 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vinogradov anpassade troligen $ \ ll $ från Poincare och Borel, som använde den för asymptotiska serier på 1890-talet (Cajori citerar Borel, * Lecons sur les series divergentes ", 1901). Fysiker använde det för vagt" mycket mindre än "redan 1918 ( Heurlingers doktorsavhandling Untersuchungen über die Struktur der Bandenspektra ). Huruvida de omtolkade Poincares symbol eller helt enkelt anpassade det som var typografiskt tillgängligt är oklart. Här är posten om ämnet från Cajoris History of Mathematical Notations, v.II, §486:

" Tecknet $ \ ll $ introducerades av H. Poincare och av E. Borel i jämförande serier som: $$ u_0 + u_1z + u_2z ^ 2 + \ dots \ ll M \ left [1+ \ frac {z} {R ^ 1} + \ left (\ frac {z} {R ^ 1 } \ right) ^ 2 + \ dots \ right], $$ där den andra serien har positiva koefficienter; modulen för varje koefficient i den första serien är mindre än motsvarande koefficient för den andra serien. Tecknen $ \ ll $ och $ \ gg $ används också för "mycket mindre än" och " mycket större än ". Zeitschrift für Physik, Vol. XIII (1923), s. 366 (tecknet användes av H. A. Kramers och W. Pauli); Torsten Heurlinger, Untersuchungen über die Struktur der Bandenspectra (Lund, 1918), s. 39 ".

Kramers-Pauli-tidningen är Zur Theorie der Bandenspektren, använder den som en självklarhet utan kommentar eller förklaring. Heurlinger är inte citerade, men med tanke på det delade ämnet kan de ha ärvt symbolen genom mellanhänder.

Så det verkar som att $ \ ll $ ursprungligen användes i asymptotisk mening
@LukeCollins Det var. Man skulle vilja spekulera att den överfördes genom att analogisera den obestämda till bas 10 och styrkor till storleksordningar (som hände i andra sammanhang), men jag känner inte till några bevis som stöder det här.
Den citerade Borel-länken introducerar skylten på s.142. En fotnot säger "Tecknet $ \ ll $, introducerat av M. Poincaré ... Se Poincaré, _Les metoder nouvelles de la Mécanique Céleste_, t. I."
Se Poincaré, [_The new methods of Celestial Mechanics_, vol 1] (http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1892mna.pdf), sid. 48.
kimchi lover
2020-02-29 03:50:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En Bourbaki "Not Historique" ledde mig till detta: Du Bois-Reymond, P. Sur la grandeur relative des infinis des fontions. Annali di Matematica 4, 338–353 (1870), tillgänglig bakom en betalvägg, använder notationerna $$ f (x) \ succ \ phi (x), \ qquad f (x) \ sim \ phi (x), \ qquad f (x) \ prec \ phi (x) $$ för att betyda $$ \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} = \ infty, \ qquad \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} \ text {är ändlig }, \ qquad \ lim \ frac {f (x)} {\ phi (x)} = 0. $$

En kort titt på några 1880 artiklar av Poincare, Borel och Stieltjes (hittades nämnt i Edelyis lilla Asymptotiska utvidgningar ) visade ingen version av $ \ ll $ -tecknet.



ⓘ
Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 4.0-licensen som det distribueras under.
Loading...