Fråga:
Varför kallar vi det en "positiv bestämd matris" snarare än en "positivt bestämd matris"?
modnar
2019-12-25 03:35:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Termen positiv bestämd matris är en standard som används i matematik, särskilt i linjär algebra.

Finns det grammatiska, språkliga eller historiska skäl till varför det inte kallades en positiv ly bestämd matris istället?

@Edwin: OED behandlar strängen * positiv definitiv * som unary, och det är så det behandlas i matematik idag. Men när man googlar frasen ser det ut som att ordet * definitivt * kom först, och sedan modifierades detta för att bli * positivt bestämt *. Så jag skulle tro att hsm.SE (vetenskapshistoria och matematik) skulle vara en bättre plats för det.
Kan du ge lite bakgrund?
I "positiv bestämd matris", men "positiv" och "bestämd" beskrivs "matris." Det är inte positivt bestämt utan positivt * och * bestämt.
Det här är en överraskande svår fråga att svara på. För närvarande är det bästa jag kan göra att hänvisa till DISTRIBUTIONSFUNKTIONER OCH POSITIV-DEFINITIVA FUNKTIONER AV S. BOCHNER OCH B. JESSEN (Ann. Math. Vol. 39, nr 4, oktober 1938). Det visar att termen användes på 1930-talet. Jag spekulerar att det är en bokstavlig översättning av ett tyskt sammansatt substantiv (eftersom det är det språk Bochner brukar skriva på), men jag kan inte bevisa det.
@JeremyC: Jag hittar [positiv definit] lnt & sa = X & ved = 0ahUKEwjyqfHkvs_mAhXSg-AKHRv5C0MQpwUIIQ & biw = 1386 & bih = 700 & dpr = 2) i ett 1890-papper av Felix Klein. (* die quadratische Form positiv definit ist *) Men * definit * verkar inte vara ett inhemskt tyskt ord ... dess matematiska betydelse måste lånas från ett annat språk.
Tänker alla över det här? Vi säger till exempel ”positiva jämna siffror” inte ”positivt jämna siffror”. Jag ser inte hur detta är annorlunda.
@JamesMcLeod Två problem: 1. det är ofta bindestreck * (positivt-bestämt) *, även i några av de exempel på användning som ges i OED, inklusive den allra första (1904 Trans. Amer. Math. Soc. ** 5 * * 464 * Det är välkänt att det alltid finns en sådan invariant, en ** positiv-bestämd ** Hermitisk form. *) Detta är för en hermitisk form, men en matris kan naturligtvis associeras med en kvadratisk form. 2. En * positiv matris * är något annat, nämligen en matris där alla ** element ** är strikt större än noll.
Denna fråga ställs mer korrekt och behandlas på Maths SE. Det behöver specialistkunskap för att veta (a) om strängen _positiv bestämd_ betraktas bättre som enhetlig eller binär, (b) om binär, sedan om 'positiv' ändrar 'bestämd matris' eller 'matris' och (c) varför termen var vald.
@EdwinAshworth Förutom vad Peter Shor sa (dvs. att * positivt bestämt * täcks av ordböcker), från vad jag har observerat, finns det många av oss här med tillräcklig kunskap om matematik för att kunna svara på de frågor du tog upp.
Det finns matematiker som säger "finitely dimensional space". Varför gör vi inte alla det?
@GeraldEdgar Jag tror [mitt svar] (https://hsm.stackexchange.com/a/11264/10854) nedan täcker det också.
@PeterShor Som du märkte är "positiv definit" inte tyska, och det är tydligt att Klein tyckte att det var latin på Gauss (Klein var redaktör för Gauss kompletta verk). Dessutom verkar det (se mitt svar) att orden * positiv * och * negativ * kom först, medan * bestämd * är ett vanligt namn för båda.
Två svar:
linguisticturn
2019-12-25 23:31:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ja, det verkar som det finns språkliga skäl 1 varför positivt bestämt fungerar bättre än positivt bestämt .

1 BTW, av den anledningen tror jag att det var ett misstag att migrera denna fråga från det engelska språket och användningen (EL&U) StackExchange till History of Science och matematik (HSM) StackExchange.

Det verkar som om vi väljer adjektiv som etiketter för typer, på engelska föredrar vi adjektivet + adjektivkonstruktionen framför adverbet + adjektivet.

Det är osannolikt att vi verkligen kan svara på varför vi har den preferensen mer än vi kan svara på varför vi föredrar t.ex. alla vänner till Kim till alla Kims vänner ; i vårt nuvarande tillstånd är förmodligen det bästa vi kan göra på ett tillförlitligt sätt statliga trender och tendenser. Trots det kommer jag att spekulera i en möjlig anledning nedan.

Diskussion

Tänk på detta exempel (jag säger naturligtvis inte att de faktiska påståenden gjorda i exemplet är korrekta):

Det finns två typer av indikspråk, nämligen

(a) forntida Indikaturspråk och > samtida indikera språk.
(b) forntida-indikera språk och samtida-indikera språk.

I (a) är forntida Indic en syntaktisk konstruktion : det är en adjektivfras (AdjP) vars huvud är adjektivet Indic och som har adverbet forntida som modifierare. Betydelsen är 'Indikera på ett gammalt sätt' (och analogt för samtida Indikera ).

Enligt CGEL (s. 1657–1658), i (b) är antik-Indikat en morfologisk förening : antik och Indikat kombineras för att producera ett nytt ord (och på samma sätt för samtida-Indic ).

Poängen är att, åtminstone för mitt öra, (b) är klart att föredra framför (a).

Jag medger att jag inte förstår varför CGEL är så säker på att konstruktionen i (b) är morfologisk och inte syntaktisk (jag kommer antagligen att lägga upp en separat fråga om den). Men om CGEL stämmer med detta kan det kanske vara anledningen till att vi föredrar (b): vi skulle vilja att typetiketterna skulle vara syntaktiskt enkla, att de skulle vara verkliga termer, , i motsats till syntaktiska fraser.

Det finns många andra exempel som kan konstrueras:

Vi tillverkar sandaler i två typer av blått, så vi har ljusblå sandaler och mörkblå sandaler.

(föredras framför ljusblå sandaler och mörkblå sandaler )

Således får du två typer av grädde: ång- varm grädde och iskall grädde.

(föredras framför ångande het grädde och iskall grädde )

Positiv bestämd

Så långt som positiv bestämd , låt oss börja med några definitioner. Först och främst, när det gäller begreppet bestämdhet , är grundobjektet en kvadratisk form . Nästa steg är att inse att man till varje matris kan associera en kvadratisk form. En matris kallas sedan om den associerade kvadratiska formen är bestämd; det kallas positiv bestämd om den associerade kvadratiska formen är positiv bestämd osv.

För en diagonaliserbar matris är dessa egenskaper av bestämdhet lätt relaterade till egenskaperna för matrisens egenvärden, och vissa källor går vidare för att helt enkelt definiera positiv bestämning för en matris i termer av egenskaperna för dess egenvärden. Jag ogillar personligen den praxis, men det är definitivt en fråga om smak.

Så låt oss prata om kvadratiska former nu. Vi har den här (källan):

Definitiva kvadratiska former. Eftersom den är homogen är varje kvadratisk form noll vid ursprunget. Vi kallar kvadratformen Q bestämd om den inte är noll överallt annars: Q ( x ) ≠ 0 för x ≠ 0 .
...
Om Q ( x ) är en bestämd kvadratisk form, då en av följande ojämlikheter gäller:

Q ( x )> 0 för alla x ≠ 0 ( Q är positivt bestämt ), eller
Q ( x ) <0 för alla x ≠ 0 ( Q är negativ bestämd ).

Således har vi har två typer av bestämda kvadratiska former: positiva bestämda och negativa bestämda .

Analogin med vad jag sa ovan om antik-Indik , mörkblå osv. skulle vara komplett om positivt bestämt bindestreck. Det är definitivt ibland bindestreck, inklusive i två av exemplen på användning i OED (de från 1904 och 1957):

positiv definitiv stark> adj. Matematik (av en funktion) som har positiva (tidigare positiva eller noll) värden för alla argument som inte är noll; (av en kvadratmatris) med alla dess egenvärden positiva; (mer allmänt, av en operatör i ett Hilbert-utrymme) så att den inre produkten av något element i rymden med dess bild under operatören är större än noll.

1904 Trans. Amer. Matematik. Soc. 5 464 Det är välkänt att det alltid finns en sådan invariant, en positiv-bestämd Hermitisk form.
1948 W. V. Houston Princ. Matematik. Fysik (red. 2) vii. 120 Den potentiella energin kommer att vara ett kvadratiskt uttryck i koordinaterna som, om jämvikten är stabil, kommer att vara ett positivt bestämt uttryck.
1957 L. Fox Numerisk lösning Tvåpunktsgräns Probl. vii. 179 Om alla λτ är positiva, vilket är fallet i många fysiska problem, och motsvarar någon struktur i differentialsystemet som motsvarar en positiv-bestämd matris A .., vi kan också hävda [etc.].
1990 IMA Jrnl. Numerisk Anal. 10 546 Hk är en positiv bestämd matris som approximerar den inversa reducerade hessiska matrisen.

Det är en intressant fråga varför bindestreck kom att missgynnas. Men det faktum att det blev missgynnat gör jag inte, gör detta fall väsentligt annorlunda än forntida-Indikat , mörkblått osv.

Jag tycker att detta är helt rätt. På det hela taget skulle en "positivt bestämd" matris tydligen innebära "en matris som inte bara är lite bestämd, utan positivt så", vilket inte är vad "positiv bestämd" ska betyda.
user6530
2019-12-26 01:50:42 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Såvitt jag vet är det första framträdandet av begreppet positiv / negativ bestämning (och av obestämdhet) i artikel 271 i Gauss diskussioner om aritmetiska ternära former. Naturligtvis är diskussionerna skrivna på latin, men kanske kan det ursprungliga sammanhanget hjälpa till att klargöra terminologin även på engelska.

Gauss skrev

Några av ternära former har jämförts, att genom [...] kan representeras av positiva tal och negativa [...] bildar en obestämd kallad. [...] däremot kan representeras som negativa siffror [...] Varför bildar positiva baserade [...] bildar positiva och negativa gemensamma namn konkreta former sagt.

det vill säga

Vissa ternära former är så konstruerade att positiva och negativa tal kan representeras av dem [...] de ska kallas obestämda former . [...] Å andra sidan av någon annan form kan negativa tal inte representeras [...] och så kommer de att kallas positiva former [...] kommer att vara positiva och negativa former kallas med det gemensamma namnet bestämda former .

Så det är uppenbart att termerna "positiv" och "negativ" inte hänvisas till "bestämd" och då är det helt korrekt att säga "positiv bestämd form." Kanske är den verkliga frågan varför vi kallar dem "positiva bestämda former" när "positiva former" skulle vara (åtminstone) lika korrekta.

Faktum är att Gauss aldrig skrev "positiv bestämd form" utan helt enkelt "positiv form "eller" bestämd form "för en form som kan vara positiv eller negativ.

Här är ett exempel i samma artikel:

bestämd form har alltid varit att definiera och är stark> (min betoning) negativ [...]

det är

adjoint till en bestämd form är alltid bestämd och mer exakt stark> negativ

där det är klart att "bestämd form" första gången betyder "positiv eller negativ", medan den latinska termen "quidem" används för att uttrycka betoning och för att ytterligare specificera att den angränsande formen inte bara är en bestämd form utan en negativ.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 4.0-licensen som det distribueras under.
Loading...