Fråga:
Vad var Eulers motivation för att introducera $ i $ för $ \ sqrt {-1} $?
Michael Weiss
2014-11-23 00:09:02 UTC
view on stackexchange narkive permalink

[Mauro Allegranza har svarat på frågan om vem som introducerade notationen $ i $ (Euler, följt senare av Gauss), så jag har ändrat titeln. Jag har också redigerat frågan på andra sätt för att göra det tydligare vad jag ställer.]

En vanlig bit matematisk folklore säger att $ i $ span > introducerades för att skydda mot misstag $ 1 = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = \ sqrt {-1} \ sqrt {-1} = - 1 $ . (Se till exempel denna fråga och detta avsnitt från Wikipedia. Observera [ citat behövs ] i Wikipedia-posten.)

Detta verkar troligt för moderna matematiker på grund av arbetet från 1800-talets matematiker, särskilt Riemann. Vi kan inte definiera en (enkelvärderad) kvadratrotfunktion i hela det komplexa planet som uppfyller identiteten $ \ sqrt {xy} = \ sqrt {x} \ sqrt {y} $ . (Faktum är att ovanstående felaktighet, omarbetning, bevisar det.) Så vi är naturligtvis misstänksamma mot uttrycket $ \ sqrt {-1} $ som används för att definiera ett värde. Vilken kvadratrot menas, $ \ pm i $ ?

Moderna känslor är dock inte en tillförlitlig guide till matematiker från 1700-talet. Jag kommer att försöka tvivla på "fallacy-guarding" -förklaringen nedan, men låt mig först belysa min fråga. En alternativ hypotes är att Euler helt enkelt introducerade symbolen $ i $ för korthet. Kanske kände han att denna grundläggande konstant förtjänade ett standardnamn, precis som han introducerade $ e $ för basen av naturliga logaritmer. Finns det några dokumentära bevis att avgöra mellan dessa hypoteser? (Till exempel, om Euler placerade en diskussion om ovanstående misstag i närheten av introduktionen $ i $ , skulle det vara bevis för hypotesen om "fallacy-guarding". )

Jag har spelat runt på internet och letat efter ett definitivt svar. Att söka på math.stackexchange med taggarna [matematikhistoria] [komplexa siffror] gav inget användbart. Funktionen "Google fulltext" tillämpas på Paul J. Nahins bok An Imaginary Tale: The Story of $ i $ (med nyckeln " notation ") misslyckades också med att svara på frågan.

Mina skäl för att ifrågasätta folklore: Först notera att införandet av $ i $ inte hindrar fallacy, som kan skrivas om $ 1 = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = i \ cdot i = -1 $ . Ett nära besläktat argument är att notationen $ \ sqrt {-1} $ i sig är tvetydig. Den notationella definitionen "Vi kommer att använda $ \ sqrt {-1} $ för att beteckna en av de två kvadratrötterna till $ -1 $ "är inte mer tvetydigt än" Vi använder $ i $ för att beteckna en av de två kvadratrötterna till $ - 1 $ ". Felaktigheten ligger i den obegränsade användningen av $ \ sqrt {xy} = \ sqrt {x} \ sqrt {y} $ , inte användningen av $ \ sqrt {-1} $ för att stå för en (godtyckligt vald) kvadratrot av $ - 1 $ .

Det finns också en historisk anledning att ifrågasätta hypotesen om "fallacy-guarding". Betoningen på envärdesfunktioner var betydligt mindre framträdande på 1700-talet. Från Wikipedia-artikeln Historik över funktionskonceptet:

Eulers egen definition lyder:

En funktion av en variabel kvantitet är en analytiskt uttryck som på något som helst sätt består av variabel kvantitet och antal eller konstanta kvantiteter.

Euler tillät också flervärderade funktioner vars värden bestäms av en implicit ekvation.

Senare gav Euler en annan definition, även om detta tydligen var tänkt som en generalisering av hans tidigare definition. Att sortera ut frågorna med envärda och flervärderade funktioner var till stor del en uppgift från 1800-talet, med Dirichlet och Riemann som spelade framstående roller.

Nu, $ \ sqrt {xy} = \ sqrt {x} \ sqrt {z} $ är bra som en ekvation mellan flervärderade funktioner: det säger helt enkelt att uppsättningen värden till vänster är lika med uppsättningen värden till höger (med tanke på den uppenbara definitionen för produkten av två uppsättningar värden). Obehindrad användning av flervärdesekvationer har sina fallgropar, men denna oro verkar tillhöra mer till 1800-talet.

Mycket av Eulers arbete var mer "formelcentrerat" än vi är vana vid idag. Hans beräkningar med frihjul med oändliga serier är välkända. Även om de (mestadels) slutligen var berättigade, var Eulers normer för stränghet inte våra.

Av dessa skäl tycker jag att "fallacy-guarding" argumentet är lika troligt som "kortfattad" argument. Finns det några samtida historiska bevis som hjälper till att avgöra frågan?

Notation $ \ sqrt {a} $ är tvetydig när vi talar om komplexa tal, eftersom ekvationen $ x ^ 2 = a $ har två rötter, och det finns inget sätt att välja en konsekvent (det är kontinuerligt). Och formlerna som du skrev har ingen mening, om du inte anger varje gång vilka av de två värdena i $ \ sqrt {} $ som används.
Det är relevant eftersom du också frågar VARFÖR notationen $ i $ introducerades. Jag berättade varför.
Eller kanske försöker du förklara bättre vad "varför" betyder? Du upprepar detta "varför", jag svarar och du säger att detta är irrelevant :-)
tyvärr döljer din tilläggsförklaring bara saken. $ i $ är ett tal, inte en funktion.
Ett svar:
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-23 00:52:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enligt Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1928 - Dover reprint), Vol II, sidan 128:

498 . Det var Euler som först använde bokstaven $ i $ för $ \ sqrt -1 $. Han gav den i en memoar som presenterades 1777 till Akademin i St Petersburg och med titeln "De formulis differentibus etc.", men den publicerades inte förrän 1794 efter Eulers död. [ fotnot : Artikeln publicerades i hans Institutiones calculi integralis (2: a upplagan), Vol. IV (St. Petersburg, 1794), s. 184. Se W.W. Beman i Bull.Amer.Math.Soc. , Vol. IV (1897-98), s. 274. Se även Encyclopédie des scien. matematik ., Tom. I, Vol. I (1904), s. 343, n. 60.]

Så vitt det är känt visades inte symbolen $ i $ för $ \ sqrt -1 $ igen i tryck på sju år, förrän 1801. Det året Gauss [ fotnot : KFGauss, Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, 1801), nr 337; översatt av A. Ch. M. Poullet-Delisle, Recherches arithmétiques (Paris, 1807); Gauss, Werke , Vol. I (Gottingen, 1870), s. 414] började använda den systematiskt; exemplet med Gauss följdes 1808 av Kramp. [C.Kramp, Eléments d'arithmétique universelle (Köln, 1808), "Noteringar."]

Se sida 129:

499 . [...] 1847 började Cauchy använda $ i $ i en memoar om en ny teori om imaginärer [ fotnot : A.L. Cauchy, Rapporter , Vol. XXIV (1847), s.1120 = ( Kompletta verk (1: a ser.), Vol. X, s. 313, 317, 318.] där han talar om ".., det symboliska tecknet $ \ sqrt -1 $, för vilken de tyska geometrarna ersätter bokstaven $ i $, "och fortsätter:" Men det är uppenbart att teorin om imaginärer [betoning tillagd] skulle bli mycket tydligare och mycket lättare att förstå, att det kunde placeras inom räckhåll för alla intelligenser, om man lyckades reducera de imaginära uttrycken, och bokstaven $ i $ själv, att inte vara mer än verkliga kvantiteter. " i denna memoar bokstaven $ i $ som en symbolisk bokstav , ersatt med variabeln $ x $ i formlerna, han får en imaginär ekvation där den symboliska bokstaven $ i $ bör betraktas som en verklig kvantitet, men obestämd.

Se sidan 130:

501 . De Morgans kommentarer om $ \ sqrt -1 $. Den stora roll som $ \ sqrt -1 $ har spelat i e volution av algebraisk teori framgår av Morgans uttalanden av Augustus. 1849 talade han om "introduktionen av oförklarlig symbol [betoning tillagd] $ \ sqrt -1 $," [ fotnot : Augustus de Morgan, Trigonometri och Dubbel algebra (London, 1849), s. 41] och fortsätter med att säga: "Användningen, som borde ha kallats experimentell , av symbolen $ \ sqrt -1 $, under namnet en omöjlig kvantitet, visade att; hur det skulle kunna vara, de begripliga resultaten (när sådana saker inträffade) av experimentet var alltid sanna och annars påvisbara. Jag ska nu prova några nya experiment. "

Kommentarer

Frågan i Cauchys verkar vara: vi har här ett "namn" ($ i $) för en "omöjlig" kvantitet, det vill säga för något som inte kan existera. Detta är - tror jag - sammanhanget med Cauchys oro: att hitta en "referens", som måste vara någon "riktig" kvantitet för symboliskt uttrycket.

Vi kan se i detta inlägg några hänvisningar till Descartes matematiska verk:

"han nämner några rötter" sanna ", vissa" implicita "(det vill säga mindre än ingenting), och något "imaginärt" (det vill säga inte alls möjligt) ".

När det gäller Euler och fördelarna med en" bra "symbolik, se L.Euler, Elements of Algebra (1765; engelsk översättning av John Hewlett: 1822) §148-149 , sida 43: "som $ \ sqrt a $ multiplicerat med $ \ sqrt b $ gör $ \ sqrt ab $, vi ska ha $ \ sqrt 6 $ för värdet av $ \ sqrt −2 $ multiplicerat med $ \ sqrt −3 $ ".

Detta avsnitt stöder antagandet att Euler förstod behovet av en specifik symbol för att undvika ovanstående "misstag".

Addendum

För $ \ pi $, se Vol II, sida 9:

396 . Första förekomsten av tecknet $ \ pi $. Den moderna notationen för 3.14159. . . . introducerades 1706. Det var samma år som William Jones [ fotnot : William Jones, Synopsis palmariorum matheseos (London, 1706), s.263.] gjorde sig bemärkt utan att vara medveten om att han gjorde något anmärkningsvärt genom sin beteckning av förhållandet mellan cirkelns längd och dess diameter med bokstaven $ \ pi $. Han tog det här steget utan påståddhet.

Bra! Det är vem, nu ger dessa källor någon indikation på varför?
Är det inte klart varför? "i" är den första bokstaven i ordet "imaginär". Jag kan tillägga att notationen inte fångades omedelbart, även Cauchy använde det besvärliga $ a + b \ sqrt {-1} $.
@MauroALLEGRANZA Tack för den nya informationen om Cauchy. Tyvärr har jag svårt att förstå slutet på det andra citatet. Ger Cauchy ett skäl för att använda $ i $, eller för att * inte * använda $ i $? Hur skulle du översätta "a n'être plus que des quantités réelles".
@MauroALLEGRANZA OK, tack för de nya grejerna på Cauchy. Allt väldigt intressant.
@MichaelWeiss citatet översätts till "att vara inget annat än verkliga kvantiteter"


ⓘ
Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...