Låt mig öppna med ett citat från Hofstadters klassiker Godel-Escher-Bach: " Enligt min åsikt, om man är intresserad av att förstå Gödels bevis på ett djupt sätt, måste man erkänna att beviset i huvudsak består av en sammansmältning av dessa två huvudidéer. Var och en av dem ensam är ett mästarslag; att sätta ihop dem tog en genial handling. Om jag emellertid skulle välja vilken av de två nycklarna idéer är djupare, jag skulle utan tvekan välja den första - idén om Godel-numrering, för den idén är relaterad till hela uppfattningen om vad mening och referens är, i symbolmanipulerande system. Detta är en idé som går långt utöver gränser för matematisk logik, medan Cantor-tricket, rikt på att det har matematiska konsekvenser, har liten eller ingen relation till problem i verkliga livet ". Gödel-numreringen ger oss ett predikat Prov (x, y), som får när x är Gödel-numret på ett bevis vars slutsats har Gödel-talet y. Cantors diagonala argument, som inte trivialt omvandlas av Gödel till en fast punktteorem, ger oss en mening G med Gödel-talet n, bevisligen motsvarande ∀x¬Prov (x, n). Det här är Gödel-meningen och det är bevisbart motsvarande det som "säger" att det är obevisbart.

Gödels insikter är hans egna, hans närmaste föregångare var inte för nära. Det som var "i luften" i slutet av 1920-talet är att formell matematik antagligen inte kan bevisa sin egen konsistens, som Hilbert ville, men inte en särskild väg till den. Och det var luften som några få utvalda andade (Skolem, von Neumann), till och med Russell, Wittgenstein och Zermelo tillhörde inte klubben. När Gödels bevis kom fram blev de förvånade över det och misstänkte det uppenbarligen som en paradox, som Russell i Freges ursprungliga logik, se Vilka källor diskuterar Russells svar på Gödels ofullständighetsteoremer?

Tanken att symboler är precis som siffror, och att manipulera dem är precis som att göra aritmetik, var Hilberts, det var grunden för hans formalistiska program för matematiska grunder. Vid den tiden var den rådande visdomen att medan Kant hade fel i geometriens a priori natur hade han rätt i aritmetik (även om Hilbert och Frege inte var överens om det var en priori syntetisk som geometri eller en priori analytisk som logik). Hilberts innovation var att analogisera aritmetik med formella deduktioner i axiomatiska teorier och tänka det som den ultimata grunden för all matematik. Matematik som ett priori resonemang om symboler enligt formella regler, se Finns det ett kantianskt inflytande på Hilberts formalistiska program? Det är en högsta ironi att själva tanken som drivit Hilberts program bar fröet till dess bortgång. Men Hilbert betraktade det som förlängning, det föll inte på honom att bokstavligen koda metamatematik till aritmetik. Inte heller föll det på Russell i Principia Mathematica. Skolem kom kanske närmare i sin tidning från 1923 om primitiv rekursiv aritmetik, där han var pionjär i den språk / metaspråkiga åtskillnad som Gödel använde. Skolem introducerade först ett formellt system med objekt definierade av primitiv rekursion och introducerade sedan ett annat ovanpå det som bevisade egenskaper hos objekt i det första systemet. Men även Skolem kodade inte varandra.

När han senare frågades när han blev intresserad av fullständighetsproblemet och vad var hans påverkan svarade Gödel "1928" och "Hilbert Ackermann: Introduktion till matematiklogik, Carnap: Föreläsningar om matematiklogik". Carnap, den växande stjärnan i den logiska positivismen som Gödel träffade vid Wiencirkeln 1928, introducerade honom till logiken, särskilt i frågan om fullständighet. Boken presenterade Hilberts program och angav fullständighet av första ordningslogiken som ett öppet problem, Gödel bevisade det nästa år (det missades av Skolem, vars resultat det snabbt följer). Och någon tid i början av 1930 fick han det ofullständiga genombrottet, i augusti nämnde han sitt negativa resultat för Carnap. Den omedelbara körningen till beviset på ofullständighetssatsen beskrivs i Goldfarbs On Gödel's Way In.