Fråga:
Vilken matematisk utveckling / upptäckter gjorde att imaginära siffror fick acceptans vid den tiden (1700-talet) de gjorde?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

I en Wiki-artikel om imaginära siffror hävdades att "användningen av imaginära siffror accepterades inte allmänt förrän Leonhard Eulers arbete (1707–1783) och Carl Friedrich Gauss (1777–1855) ). "

Vad motiverade Eulers och Gauss bidrag till teorin om imaginära siffror? Till exempel vet jag att Euler producerade formeln som senare ledde till DeMoivres teorem, men förstår inte riktigt varför. Och deras liv överträffade knappt, så varför tog ingen "emellan" "stafettpinnen" från Euler till Gauss?

(Ironiskt nog grundade Rene Descartes, som hånade imaginära siffror, "Cartesian" ( 2x2) koordinatsystem, som är parallellt med det plan på vilket imaginära siffror också ritas. Detta kan ha varit fallet med ett "oavsiktligt" bidrag.)

Liten nitpick: de Moivres teorem föregår faktiskt Eulers identitet; den härleddes ursprungligen av honom i en form 1707 och senare i sin välbekanta form 1722. Eulers identitet behövs inte för att bevisa de Moivres teorem, men förenklar beviset drastiskt.
Bra referenser till detta är det första kapitlet i Tristan Needhams bok * Visual Complex Analysis * och kapitlen om komplexa siffror i Stillwells * Mathematics and Its History *.
Tre svar:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Den första allvarliga användningen av komplexa tal är att hitta rötterna till kvadratiska, kubiska och kvartiska polynom. Cardano visade först i sin Ars Magna (1545) att kvadratiska ekvationer kunde ha (formellt) komplexa rötter, även om han inte kallade dem det; han sa att de var "lika subtila som [de är] värdelösa". I Bombellis algebraxt (1572) utvecklade han reglerna för komplex aritmetik och visade att Cardanos formel för kubik kunde leda till verkliga lösningar även om mellanresultat var imaginära. Förresten har jag fått veta vid flera tillfällen att notationen $ i = \ sqrt {-1} $ endast utvecklades för att skydda mot det vanliga misstaget ' bevisar ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

En viktig insikt som uppnåddes i början av 1700-talet är den djupa kopplingen mellan komplexa tal och geometri. Det observerades att $ i $ kan användas för att förenkla många trigonometriska identiteter, och 1748 upptäckte Euler sin berömda och vackra formel $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (Derivationen skiljer sig ganska från den som vanligtvis presenteras i dagens läroböcker; se detta inlägg i serien Hur Euler gjorde det .)

Uppfattningen av ett komplext tal som en punkt i planet är en annan upptäckt som är värt att notera. Denna konstruktion användes redan av Wessel 1799 och återupptäcktes självständigt av Argand, men den blev verkligen populär när Gauss publicerade sin avhandling om komplexa nummer. Denna bok etablerade också mycket av den moderna notationen och terminologin som används i komplex analys.

BTW, här är Wessels originalpapper. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=sv&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASa04GQCg&ved=0CB8 här: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
När det gäller anledningen till $ i $ infördes en annan möjlig förklaring: man ansåg att denna viktiga matematiska konstant förtjänade ett standardnamn, som $ e $ och $ \ pi $. Förklaringen i svaret nämns i Wikipedia, men är markerad * [citat behövs] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bara för att komplettera Danus svar. Vissa människor använde komplexa siffror sedan 1500-talet, men bred acceptans kom senare (i slutet av 1700-talet) när flera personer (Argand, Vessel, Gauss) upptäckte den geometriska tolkningen.

Detta var tydligen ett viktigt steg. Ändå erkändes de inte allmänt. De säger att även Chebyshev aldrig använde dem.

En annan händelse som kan vara betydelsefull: i början av 1800-talet började fysiker använda dem (Fresnel).

Om Frenel: har du en referens? Jag kunde inte hitta någon användning av komplexa nummer av Fresnel i Jed Buchwalds mycket omfattande * The Rise of the Wave Theory of Light *; Fresnel verkar hålla fast vid sinus och cosinus.
Jag har inte läst Fresnel. Förmodligen kommer denna information från Whittaker, History of theories of aether and el, men jag måste kontrollera. Specifikt talar vi om total intern reflektion (se Wikipedia) men jag är inte säker på att härledningen i Wikipedia är Fresnels egen.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Förutom nödvändigheten vid beräkning av kubiska polynomers rötter finns det en annan, mer grundläggande roll som komplexa tal spelar i polynomekvationer, som först började uppskattas på 1600-talet. Denna roll uttrycks genom grundläggande teorem för algebra , som säger att alla icke-konstanta polynomekvationer har minst en rot, om vi tillåter komplexa tal att vara rötter. Det vill säga om $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ är reella tal sådana att minst en av $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ inte är noll, då är ekvationen \ börjar {ekvation} \ etikett {e: polynom-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {ekvation} har en lösning, förutsatt att $ x $ kan ha komplexa värden. Om $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , då blir ekvationen $ p (x) = 0 $ $ a_0 = 0 $, som inte har någon (komplex) lösning när $ a_0 \ neq0 $. Så villkoret att minst en av $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ är icke-noll (dvs. $ p (x) $ är icke-konstant) är helt enkelt för att utesluta detta triviala fall. av algebra är mirakulöst eftersom komplexa tal är utformade för att lösa alla kvadratiska ekvationer, och det är a priori tänkbart att vi behöver införa en ny typ av "antal" varje gång vi ökar graden av en polynomekvation .Den första formuleringen av algebras grundläggande sats gavs av Albert Girard (1595-1632) 1629, även om han inte försökte bevisa. Faktiska, stränga bevis på denna sats framkom inte förrän i början av 1800-talet, vilket för övrigt markerar början på en tid då komplexa talers existens och användbarhet accepterades allmänt.

Eventuella tvivel om existensen och vikten av komplexa tal försvann helt efter utvecklingen av komplex analys , som också kallas funktionsteori . Den inledande motivationen för att studera funktioner för en komplex variabel var att använda dem för att beräkna (eller förenkla) verkliga bestämda integraler, och banbrytande verk i denna riktning utfördes av Euler och Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) omkring 1760-1780. Deras forskning togs upp senare under 1810-talet av Augustin Louis Cauchy (1789-1857), som insåg 1821 att komplexa funktioner har en rik teori för sig själva. Gauss nådde samma förståelse redan 1811 och spelade en viktig roll i populariseringen av komplexa tal, men han bidrog inte direkt till utvecklingen av komplex analys. Således mellan 1820-1850, Cauchy utvecklade på egen hand alla grundläggande resultat av komplex analys, kanske med undantag av Laurent-serien, som först uppträdde i ett dokument från Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) 1843.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...