Fråga:
Hur och när upptäcktes Bolzanos bevis på Bolzano-Weierstrass-satsen?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag har alltid varit nyfiken på hur stora glömda idéer återupptas. Den här frågan: Finns det skrivna (1800-talets) källor som uttrycker tron ​​att egenskapen mellanvärde motsvarar kontinuitet? ledde mig till följande artikel:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Inte så okänt för hans samtida som man tror?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Elseviers betalvägg , förlåt att jag inte kunde hitta en fri version.)

som säger att "Herman Hankel är krediterad för att ha varit den första att föra Bolzano till den matematiska gemenskapens allmänna uppmärksamhet 1871. " (och Schubring fortsätter att argumentera för att Bolzanos verk sannolikt hade varit känt för Crelles cirkel i Berlin omkring 1825 innan de glömdes bort.)

Hur kom Hankel över Bolzanos arbete och erkände att Bolzano hade prioritet framför Weierstrass?

Ett svar:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Rättvis varning: det här svaret svarar inte helt på frågan, men jag tror att det kan svara på frågan lika bra som det är möjligt att göra.

Den artikel som Hankel skrev (publicerad 1971) att anses generellt ha "återupptäckt" Bolzanos verk var en artikel i avsnitt 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) i Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, en av de största uppslagsverk som någonsin skrivits (spänner över 167 volymer trots att ofullständig). Du kan läsa detta avsnitt fritt här på Google Böcker. Hankels artikel handlar om "Grenze" ("gränser").

Det relevanta stycket om Bolzano finns på sidorna 209-210, medan analyshistoriken diskuteras. Jag ger en grov översättning på modern engelska av denna punkt. Jag bör notera att jag vet nästan ingen tyska, så översättningen är mycket gissningar, och jag kan ha fel på vissa ställen. Den som kan tyska bör känna sig fri att notera fel.

Ännu värre var en annan samtida som förblev då och nu nästan helt okänd bland matematiker: Vi måste återta prioriteringen av den första rigorösa utvecklingen i serie av algebraisk analys till förmån för den utmärkta Bernhard Bolzano. Bolzanos uppfattningar om seriens konvergens är ganska tydligt och korrekt skrivna, dess operationer med oändliga serier är alla strikt bevisade, och inget är fel med utvecklingen av dessa uttalanden för verkliga argument, vilket han antar överallt. I förordet ger han en tillfredsställande kritik av de tidigare härledningarna av Binominal-satsen och sedan av vanlig obegränsad användning av oändliga serier. Kort sagt, detta verk var inte bara en fransk konst, han borde placeras i detta avseende på samma nivå som Cauchy och förklarade sina tankar på ett trevligt sätt. Men Bolzano förblev okänd och glömdes snart; Cauchy var den lyckliga, den som berömdes som en reformator för vetenskapen och vars eleganta skrifter på kort tid fann allmän spridning.

I detta stycke krediterar Hankel Bolzano i grunden att han utvecklat mycket av grunden för analys oberoende av (och år tidigare) Cauchy. Bolzanos arbete förblev emellertid okänt, medan Cauchy, som var väl ansluten i franska matematikcirklar, fann det lätt att kommunicera sitt arbete. Hankel nämner inte var eller hur han hittade Bolzanos verk.

Några historiska kommentarer är i ordning här. 1871 är ett betydande år; specifikt är det året då det fransk-preussiska kriget, en tid med stark nationell stolthet i Tyskland och allmän ogillande av allt franska. Uppslagsverket Hankel skrev in var tänkt att vara något av ett uppslagsverk "för och av det tyska folket". Hankel hade säkert inte varit nöjd med att behöva ge æren för att ha utvecklat analys till Cauchy, en fransman. Det var mycket bättre att ge det till Bolzano. Visst, Bolzano var inte den ideala tyska matematikern, efter att ha tillbringat större delen av sin akademiska karriär i Österrike, och var lika mycket en filosof och teolog som en matematiker (och en kontroversiell på det), men han talade och skrev på tyska, och lika viktigt, var inte franska. Och Bolzano gjorde verkligen (för det mesta) de saker Hankel tillskrev honom. För att vara tydlig anklagar jag inte Hankel för felaktigheter genom att påpeka detta, utan bara säga att han hade stort intresse av att tillskriva Bolzano så mycket han kunde.

Det finns dock något av ett problem tillskriva utvecklingen av gränser i analysen till Bolzano över Cauchy, även om den är mer filosofisk än matematisk. Bolzano hade förmodligen en helt annan tolkning av sina satser än senare läsare. I "The Mathematical Works of Bernard Bolzano" argumenterar Steve Russ faktiskt för att Bolzano inte alls skulle ha tänkt på hans teorier i termer av gränser, vilket han skulle ha associerat med de oändligheter han försökte undanröja. Från sidorna 146-147:

Det moderna erkännandet av Bolzanos verk väcker dock ett historiskt problem. Från Hankels artikel 1871 till utdraget i Bitkhoff (1973) har kommentatorer varit benägna att ge Bolzano särskild heder för saker som han då såg i ett helt annat ljus än dessa senare kritiker. Vi tänker här på det aritmetiska begreppet gräns och begreppet konvergens av oändliga serier som ofta antas idag. Dessa begrepp hade använts i någon form under lång tid, och att döma av andra exempel i hans skrifter skulle Bolzano inte ha varit för blygsam för att hävda dem som nya och originella om han hade betraktat dem som så. Han gör inte det. Utan tvekan hade han stort förtroende för dessa definitioner; de uppfyllde hans konceptuella krav, han visste att de skulle vara fruktbara och effektiva i utvecklingen av analysen, men han påstår aldrig att de är hans egna ...

Det antas vanligtvis att efter introduktionen av kvantiteter märkta som ω, eller Ω, eventuellt med prenumerationer, beskrivs det i BL §14 ff. en ganska vanlig teori om gränser. Ironin är att Bolzano, tillsammans med de flesta av hans samtida, skulle ha förknippat gränser med oändliga processer (eller oändligt små mängder). Och så skulle han, vid denna tid, ha varit förskräckt över att vara associerad med en sådan teori. Liknande anmärkningar gäller hans arbete med seriens konvergens. Han trodde att han behandlade binomialserien för negativa och rationella exponenter på ett rent ändligt sätt. Det sätt på vilket han använde sina ω-mängder - variabla mängder som kan bli mindre än en viss kvantitet, eller som kan bli så små som vi vill, vädjade naturligtvis till ett oändligt värdeområde. Vi kan kalla dem 'godtyckligt små mängder'. Rusnock föreslår att ett sådant koncept för en variabel som kan bli så liten som önskat var vanligt vid den tiden. Det är någon form av motsvarighet till en fysisk variabel kvantitet. Han föreslår att Bolzanos might kan tolkas som intervall av värden som innehåller noll ...

Det vill säga att Hankels bedömning av Bolzano som en oberoende upptäckare av noggrann teori om gränser i analysen, även om den är korrekt när det gäller matematiskt innehåll, är säkert falsk om vi tar hänsyn till de filosofiska aspekterna av hans arbete. Men även om Hankel insåg detta hade han naturligtvis lite att vinna genom att påpeka det uttryckligen i sin artikel. I vilket fall som helst var varken Bolzanos metoder eller hans satser mindre stränga än Cauchys; bara hans tolkning av satsernas definitioner och innehåll var annorlunda.

Under alla omständigheter kommer du att notera att Hankel inte nämnde Bolzano-Weierstrass specifikt, inte heller mellanslagssatsen (vilket var Bolzanos yttersta mål, mot vilket Bolzano-Weierstrass bara var ett lemma). Det är inte särskilt förvånande. Medan Hankel sannolikt var medveten om Weierstrass resultat (de var väl bekanta med varandra, eftersom Hankel arbetat med Weierstrass i Berlin 1861 före sin doktorsexamen) var det troligen för nyligen för att uppskatta dess betydelse, särskilt i samband med denna typ av offentliggörande. Det är inte ens klart att Hankel hade läst de delar av Bolzanos arbete relaterade till mellanvärdessatsen; de delar som han citerar i artikeln finns någon annanstans. Så det var egentligen inte Hankel som fastställde Bolzanos prioritet här.

Efter Hankels ursprungliga citat gick vissa matematiker tillbaka och läste Bolzano olika verk och tolkade dem på ett modernare språk. Särskilt Otto Stolz krediteras för att återupptäcka och publicera många av hans matematiska verk 1881. Detta inkluderade den relevanta artikeln, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , som föregår Weierstrass och till och med Cauchy, fastställande av Bolzanos prioritet för mellanvärdesatsen och Bolzano-Weierstrass-satsen. Ett antal andra inflytelserika tyska matematiker och filosofer läste också Bolzanos verk, och några andra intressanta matematiska resultat hittades. Hans arv cementerades troligen i de olika historiska anteckningarna i den mycket inflytelserika (åtminstone i Göttingen) Enzyklopädie der mathematatischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, som nämner hans arbete flera gånger som långt före sin tid.

Det svarar på frågan om Bolzano-Weierstrass, men det finns fortfarande en kvarvarande obesvarad fråga, nämligen hur hittade Hankel till och med Bolzano i första hand (vilket var en stor del av din ursprungliga fråga). Jag vet inte svaret på det och så vitt jag vet gör ingen det. Kanske hade han något koncept att det fanns en östeuropeisk skola för analytisk filosofi som i början av 1800-talet behandlade frågor relaterade till oändligheter och var missnöjd med Leibniz informella inställning till kalkyl. Eller kanske, när han skrev artikeln, hamnade han i en konversation med någon (möjligen någon som var bekant med Bolzanos arbete från 1820-talets tid som nämns i artikeln du citerade, eller kanske inte ens en matematiker) som föreslog att han skulle titta på det riktning. Hankel gjorde en anständig studie av matematikens historia (även om hans historiska verk vanligtvis hade anmärkningsvärda fel), och påpekade också vikten av arbetet med Hermann Grassmann 1867 två decennier efter att Grassman i huvudsak hade slutat han gjorde matematik, så han hade verkligen en viss bredare förståelse för sina föregångares verk än den genomsnittliga matematikern på hans tid. Hur exakt Hankel hittade Bolzano är någons gissning, men när han väl gjorde det är det ganska tydligt att han inte bara skulle ignorera det i sin artikel, oavsett vad Bolzano gjorde / inte tänkte på hur man skulle tolka hans resultat. Hankel dog 1873, bara två år efter publiceringen av artikeln, och så vitt jag vet kommenterade han aldrig någonsin Bolzanos arbete igen. Även om man kanske kan spåra olika matematiker från 1817 till 1871 för att försöka lista ut hur idén kan ha överförts till Hankel (en till synes herculean uppgift, men inte tekniskt omöjlig), skulle vi i bästa fall hamna med en gissning, och sanningen är förmodligen förlorad för historien.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...