Sådana "bidentifieringar" av begrepp i matematik med stor inverkan är vad några viktiga matematiska idéer handlar om. Här är några exempel, och listan kan mycket lätt förlängas.

1) Logaritmer visar multiplikation på $ \ mathbf R _ {+} $ är en förklädd tilläggsform på $ \ mathbf R $, och detta varför logaritmer var en så viktig beräkningshjälp i århundraden.

2) Introduktionen av koordinater i planet av Descartes visade att många typer av kurvor i princip är samma sak som algebraiska ekvationer i två variabler, vilket möjliggjorde geometriska problem som ska lösas algebraiskt, algebraiska problem som ska lösas geometriskt, och tillåtna dimensioneringsutrymmen större än tre (och tillhörande geometriskt språk) kan definieras med hjälp av ordnade listor $ (x_1, \ dots, x_n) $ med $ n > 3 $.

3) Datorområden och tangenter är samma problem i omvänd ordning, som kodifierats i den grundläggande teorem för kalkyl. Vikten av denna upptäckt är tydlig för alla som känner till kalkyl.

4) Exponentiella och trigonometriska funktioner är i princip samma sak när de får vara funktioner för en komplex variabel. Detta effektiviserar teorin om Fourier-serier när du tillåter komplexa koefficienter, eftersom det låter oändliga serier i sinus och cosinus skrivas som serier i befogenheter $ e ^ {ix} $.

5) De diskreta grupperna som bevarar vissa automorfiska funktioner är desamma som grupper av rörelser i icke-euklidisk geometri. Poincares upptäckt av detta när han gick på en buss är känd, och det ledde till att hans modell av det hyperboliska planet använde komplexa variabler.

6) Sannolikheten saknade en axiomatisk matematisk grund fram till 1930-talet, då Kolmogorov identifierade de grundläggande begrepp för sannolikhetsteori som händelser, sannolikheter, slumpmässiga variabler och oberoende, med begrepp om måttteori som kom ur Lebesgues arbete från trettio år tidigare. Kort sagt, sannolikhet = måttteori när hela utrymmet har mått 1.

7) Modulära former och representationer av Galois-grupper studerades separat, även av Artin och Hecke i samma avdelning samtidigt, men det faktum att de är två olika sätt att komma på samma sak (konstruera samma $ L $ -funktioner på olika sätt) uppskattades inte förrän flera decennier senare inom ramen för Langlands-programmet.

Jag skulle säga att den mest kända upptäckten av detta slag var förklaringen, varför "gravitationsmassa" och "tröghetsmassa" är desamma. (Faktum var sedan Galileo så känt att ingen verkligen märkte att det är någon konstig tillfällighet. Denna anmärkningsvärda sammanfall förklaras i allmän relativitet).

Det enda konkurrerande exemplet är att ljus och elektromagnetiska vågor är desamma, men det passar inte riktigt: elektomagnetiska vågor (förutom ljus) upptäcktes inte förrän efter att Maxwell förutsagt dem. Men hur som helst upptäckte han att optik och elektromagnetism är ungefär samma sak.

Mycket tidigare upptäckt av samma slag är att solen är en av stjärnorna, och jorden är en av planeterna.

REDIGERA. Det föll inte på mig förrän jag läste KCds svar att exempel från matematik också kvalificerar sig :-) Men i matematik finns det så många att det verkligen blir en MYCKET stor lista. Så jag begränsade mig till fysik / astronomi.

Mitt val är Apatosaurus / Brontosaurus.

En kort nedgång:

Runt 1877 upptäckte Othniel Charles Marsh ett dinosaurieskelett som han kallade Apatosaurus . År 1879 hittade han ett annat skelett som verkade helt annorlunda än det första. Marsh gav den namnet Brontosaurus . Under de närmaste decennierna eller så sammanfogades skelett felaktigt och blandades på grund av Marshs misstag (han hade också felaktigt lagt till Apatosaurus-huvudet); så småningom insåg man att ett misstag hade gjorts. Exakt 100 år senare infördes rätt huvud, vilket försvann definitivt myten att Brontosaurus var ett distinkt släkte.

Uppdatering

En ny studie har dragit slutsatsen att Brontosaurus är ett annat släkte än Apatosaurus . Peer review behövs för att bestämma giltigheten av resultatet, men det verkar som om de båda var olika hela tiden.

Jag hoppas att mitt minne om detta är rätt ...

James Clerk Maxwell kom med några differentiella ekvationer för att beskriva elektricitet och magnetism. Som vanligt när differentialekvationer är lösta, fanns det en viss konstant som uppträdde. Mätningar visade att konstanten hade värdet $ 3 \ gånger 10 ^ {10} $ cm / sek ... ljusets hastighet. Numera kallar vi ljus för en "elektromagnetisk strålning", som erkänner dess anslutning till elektricitet och magnetism.

Matrismekanik och Schrödinger-vågformuleringen av kvantmekanik. En kort historia av den matematiska ekvivalensen mellan de två kvantmekanikerna, Carlos M. Madrid Casado, Lat. Am. J. Phys. Utbilda. Vol. 2, nr 2, maj 2008.

Det här är kanske inte riktigt vad du menar, men jag föreslår NP-kompletta problem.

Det har varit många, många problem, inklusive Sudoku, schemaläggning, diagramfärgning, SAT och tusentals andra , som alla har visat sig vara NP-kompletta, så visa sig vara "ekvivalenta".