Fråga:
I vilken form finns metamatematikfältet idag?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag skrev om Wikipedia-artikeln för metamatematik, och det var mycket svårt att hitta referenser efter 1930-talet. De viktigaste verken verkar ha varit Gödel's fullständighet och ofullständighetssats.

Finns det ett fält i matematik idag som är den andliga efterföljaren till metematematik som studerats av Gödel, Hilbert och författarna till Principia Mathematica? / p>

Jag gillar den här frågan eftersom den utesluter att använda wikipedia som svar! :)
Det är ett tag sedan jag läste GEB ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) men det här kan leda eller slutar det med Turing (dvs. inte långt från Godel!)?
En röst för att försöka ta itu med detta ämne på Wikipedia.
Två svar:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Numera är metamatematik en vanlig del av landskapet för matematisk logik.

Å ena sidan bör det mesta arbetet med grunden för matematik troligen betraktas som metamatiskt. Standardgrunden är set-teoretisk, där ZFC och dess varianter är de vanliga formaliseringarna. Men detta är överlägset inte det enda alternativet, och till exempel har det nyligen gjorts arbete med vad vi nu kallar univalenta grundvalar baserade på abstrakt homotopiteori. På sätt och vis är detta kanske närmare Principia än ZFC, eftersom typteori spelar en seriös roll. Å andra sidan är tillvägagångssättet verkligen kategoriteoretisk, och kategorier som inte riktigt tänktes vid Principias tid. Även om det här nya tillvägagångssättet får stor uppmärksamhet börjar logikergruppen i stort sett bara förstå dess omfattning och möjligheter. En ny serie trådar vid FOM-e-postlistan (grunden för matematik) illustrerar den aktuella spänningen.

En stor del av forskningen inom standardområden för matematisk logik drivs av metematematiska överväganden. , även om inte i betydelsen av reviderade grunder.

Till exempel studerar omvänd matematik (nämns också i ett annat svar) frågan om vilka set-existens-axiomer som egentligen behövs för vanliga matematiska argument. Typiska resultat här argumenterar för att en standardteorem (som mellanvärdessatsen i klassisk analys) är ekvivalent med eller åtminstone innebär (över en ganska svag bakgrundsteori där diskussionen äger rum) en abstrakt "existens" -axiom (t.ex. varje oändligt binärt träd har en oändlig gren) eller en instans av matematisk induktion.

Bevissteori handlar om teorier som matematiska objekt och studerar deras styrka baserat på antingen längden på bevis (lämpligt definierade) jämfört med vissa standardalternativ eller på mer subtila sätt (t.ex. överväganden av så kallade bevis -teoretiska ordinarier). Till exempel inom Peano-aritmetik, det första ordningens system för axiom för talteori, kan vi enkelt definiera Turing-maskiner, den vanliga formaliseringen av "datorprogram". Vi kan sedan ange om en binär relation < 'på de naturliga siffrorna är rekursiv, vilket innebär att det finns en algoritm (en Turing-maskin) som kan bestämma vilket talpar som helst n, m, huruvida n<'m eller inte. Många rekursiva relationer är faktiskt välordnade, och med tanke på en sådan relation R och en teori T (utvidgning av Peano-aritmetik) kan vi fråga om T kan priva att R är en ordning. I allmänhet är längden på de bevisbara brunnbeställningarna avsevärt liten jämfört med längden på alla rekursiva välbeställningar. Vi kan sedan jämföra teorier genom att kontrollera vilka som kan bevisa välordningsbarhet för längre (rekursiva) välordningar. Baserat på den här beskrivningen verkar detta lite excentriskt, men detta är nära kopplat till hur mycket transfinit induktion teorin kan formalisera och bevisa, så dessa bevisteoretiska ordinarier är faktiskt mycket rimliga måttstockar av teoriernas uttryck och styrka.

I uppsättningsteorin är ett av standardteman jämförelsen av teorins konsistensstyrka. Från Goedels arbete vet vi att en rimlig teori T inte kan bevisa sin egen konsistens, så om en teori T lyckas bevisa konsistensen hos en teori S, ger detta oss ett naturligt sätt på vilket T är starkare än S. Den resulterande konsistensstyrkan hierarki är ett fascinerande matematiskt objekt. Det visar sig att för naturliga förlängningar T av ZFC tenderar vi att kunna identifiera ett stort kardinalaxiom som när det läggs till ZFC resulterar i en teori som är likvärdig med T. av stora kardinaler speglar sedan studien av teorins styrkor. Att det alls finns något sådant är anmärkningsvärt. Inre modellteori är det område av uppsättningsteori som mest direkt handlar om att försöka förklara detta fenomen. Den faktiska identifieringen av följeslagaren till en teori är å andra sidan numera en mestadels kombinatorisk fråga, tack vare Cohens utveckling av tvångsmetoden.

Referenser om univalenta stiftelser finns här och här. Om omvänd matematik, se till exempel här förutom länken som ges i det andra svaret. Om bevisteori, se här. För hierarkin för konsistensstyrka i uppsättningsteorin, se här, även om många artiklar och föredrag av John Steel också är relevanta. Många av mina inlägg i MathOverflow och Math.Stackexchange är också relaterade till detta ämne. Låt mig välja ut den här.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det finns olika nyare verk om ämnen som kan betraktas som metamatematik.

Till exempel startades Omvänd matematik av Harvey Friedman i mitten av sjuttiotalet.

Nyligen var det en hel del spänning kring Homotopy Type Theory and Univalent Foundations, inte bara utan också eftersom det kopplas in fint med ansträngning att ha automatiskt kontrollerbara bevis.

Och naturligtvis finns det olika andra arbeten inom bevisteori och andra grenar av matematisk logik. Frågan som du kanske uppfattar är vad som uttrycks i ett svar på MathOverflow på en fråga kring metematik; problemen studeras fortfarande men uppfattas inte längre som meta -matematik utan snarare "bara vanlig matematik."

Att ta din fråga i en något annan riktning kan argumentera för att ansträngningar att göra mer och mer av matematik mottaglig för formell verifiering via bevisassistenter eller till och med automatiserad teorem som bevisar är lika naturlig och aktuell fortsättning på tidiga ansträngningar för att formalisera matematik.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...