Fråga:
Vilka bevis finns det för att Fermat hade bevis för sin sista sats?
Carlos Bribiescas
2014-10-29 02:11:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bortsett från det faktum att Fermat var ett geni, är det troligt att han faktiskt hade ett bevis?

Några detaljer som jag tror skulle kunna peka på ett eller annat sätt:

  • Skulle hans tids matematik göra det möjligt för honom att bevisa det på samma sätt som Andrew Wiles gjorde?
  • Har vi tappat någon stor del av hans verk?
  • Är det något han gjorde ofta? Det vill säga, säg att han hade ett skydd på ett papper och bevisa det senare i ett annat papper?
Det är högst osannolikt att han alls hade ett bevis, vi behöver bara se vid senare försök att bevisa detta resultat av andra som Kummer, och kan gissa att även om Fermat trodde att han hade ett bevis, måste det med säkerhet ha varit fel.
Detta är beviset: https://www.quora.com/How-did-Fermat-so-simply-discover-and-proved-the-truth-of-his-own- Wonderful-conjecture-for-infinitely-many -intrar-inte-bara-av-form-4n / svar / Bassam-Karzeddin-1? srid = 2rMF
Tre svar:
#1
+69
Logan M
2014-10-29 08:25:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det andra svaret är korrekt. Dessutom finns det betydande bevis för att Fermat inte hade ett bevis på den sats som nu kallas Fermats sista sats.

Först bör vi notera att Fermat inte var en professionell matematiker, utan bara en amatör. Han publicerade aldrig någon matematik själv. Med just det verkar det inte konstigt att han inte publicerar sitt bevis. Men hans son Samuel bestämde sig för att samla in Fermats skrifter och brev. Den berömda marginalen som var för liten för beviset var marginalen för Fermats kopia av Diophantus Arithmetica . Fermat skrev sannolikt denna anteckning omkring 1630 när han först började studera denna text.

Från hans skrifter och brev ser vi en gemensam trend. Nästan alla de problem som Fermat nämnde att han hade löst inkluderades i hans arbete mer än en gång, typiskt omprövade som utmaningsproblem som han sedan skickade till olika matematiker som han var i korrespondens med. FLT visas dock bara en gång i denna marginal. Det nämns aldrig igen i några skrifter som Samuel kunde hitta. Förutsatt att han verkligen hade ett (långt) bevis som inte var felaktigt, skulle han sannolikt ha skrivit ner detta eller diskuterat det med andra matematiker, som han gjorde med i princip alla andra resultat som han hittade.

Faktum är att hans skrifter hittar vi senare hänvisningar till speciella fall av satsen (se Wikipedia, Proofs of Fermats Last Theorem for specific exponents). Både $ n = 3 $ och $ n = 4 $ fall finns i hans senare skrifter. Det är inte klart om han visste ett bevis för $ n = 3 $ fallet, men om han gjorde det var det okänt vid tiden för sin död och inget hittades förrän Euler 1760. Men han skickade flera brev 1636, 1640 och 1657, som innehåller detta fall som ett problem. Det enda överlevande beviset från Fermat motsvarar ett bevis på $ n = 4 $ fallet. Det verkar väldigt konstigt för honom att ange problemet 1630 för alla $ n $, och sedan i mycket senare skrifter, att specialisera sig i två fall.

Med detta i åtanke verkar det finnas tre möjligheter.

  1. Fermat menade aldrig att hävda att han visste ett bevis på FLT för alla $ n> 2 $, och bara ville ange FLT som en gissning. Han kan ha tänkt att specialisera sig till $ n = 3 $ och / eller $ n = 4 $. Detta var trots allt en privat skrivning av en amatörmatematiker som just lärde sig nummertorin. Det var aldrig avsett att kommuniceras till andra, och i hans meddelanden kan vi inte hitta någon indikation på ett sådant påstående. Det är inte klart vad han skulle ha menat med anteckningen i marginalen.

  2. Fermat trodde att han hade ett bevis på detta för alla $ n> 2 $ vid den tiden. Men han hade fel och upptäckte mycket troligt detta själv, möjligen när han försökte skriva ner beviset. Detta skulle förklara hans senare specialiseringar till $ n = 3 $ och $ n = 4 $ fall, själva inte triviala, och hans beslut att inte kommunicera resultatet till någon av de matematiker han var i kontakt med. Exakt vad detta bevis kan ha varit är inte klart. Många har sedan dess misslyckats med att bevisa FLT på många sätt. Eftersom han var väldigt generös kunde han ha gjort ett antagande som liknar eller på något sätt motsvarar ett som Lamé gjorde i sitt misslyckade försök från 1847, dvs att $ \ mathbb Z [\ zeta_n] $ (där $ \ zeta_n $ är en primitiv $ n $ - enhetens rot) har unik faktorisering för alla $ n $. Även det skulle ha varit långt före hans tid. Men hans fel kunde ha varit något mer vardagligt också.

  3. Fermat (som bara var en amatör, om än en extremt begåvad) hittade ett korrekt elementärt bevis på FLT som sedan dess har undvikit tusentals matematiker med mer sofistikerad teknik och mer fullständig förståelse för talteori under en period av över 350 år. Han skrev aldrig ner detta eller meddelade detta resultat till någon matematiker, utan föredrog att bara diskutera två specifika fall. Detta kan inte uteslutas tekniskt, men det verkar mycket osannolikt, och det enda beviset som stöder det är en privat anteckning klottrad i marginalen av en text av en man som lärde sig talteori för första gången.

De två första möjligheterna verkar båda rimliga, medan den tredje är nästan helt absurd. Detta skulle inte vara det enda fallet där Fermat trodde att han hade ett resultat som först bevisades helt senare. polygonal talteorem är ett annat viktigt fall, som endast bevisades av Legendre för kvadrater 1770, Gauss för trianglar 1796 och Cauchy i allmänhet 1812. Gauss särskilt framförde några allvarliga tvivel om huruvida Fermat hade ett bevis på detta. Den mest populära gissningen är möjlighet 2, att Fermat hade något slags argument som var bristfälligt men kanske fungerade för några små exponenter. Inte tillräckligt med hans skrifter har överlevt för att gissa vad den metoden var, och beviset han gav för $ n = 4 $ generaliserar inte på något uppenbart sätt till andra exponenter.

Det är helt enkelt inte möjligt att Fermat upptäckte ett bevis som motsvarar Wiles bevis. Det hade varit omöjligt; begreppen som krävs för att ens förstå Wiles bevis utvecklades inte förrän på 1900-talet.

Det första alternativet är dock en icke-startare, som i marginalnoten uttryckligen säger: "Jag har hittat det mest underbara beviset [demonstrationem mirabilem] på detta faktum ..."
@MichaelWeiss Även om jag håller med om att det första alternativet verkar ovanligt är det inte möjligt att utesluta helt. Fermat kunde (till exempel) helt enkelt ha ljugit för att skriva det. Jag ser ingen god anledning för honom att göra det, men det verkar fortfarande mycket mer sannolikt än det tredje alternativet.
Utan att diskutera om det första eller tredje alternativet är mer osannolikt, tror jag att vi kan komma överens om att det andra alternativet är helt trovärdigt.
Har det någonsin förekommit ett fall där Fermat hävdade (helst i privata skrifter) att han löste ett problem, men senare insåg att han hade fel?
@MichaelWeiss, det skulle inte vara första gången någon tänker på ett fantastiskt, enkelt bevis, bara för att ta reda på lite senare att hela idén är helt utanför banan.
Det bör verkligen nämnas att begreppet "professionell matematiker" på Fermats tid hade liten mening alls och verkligen mycket långt ifrån vad det blev 100 år senare (Bernoullis, Euler) eller 150 eller 200. Så att säga att han var "en amatör" är i huvudsak vakös. Vidare fanns det ingen verklig uppfattning om "peer-reviewed journal publication" på den tiden.
@paulgarrett Jag tror att du missförstår mitt svar. Jag påstår inte att Fermat aldrig var en professionell matematiker under sin livstid. Snarare är det viktigt att notera att alla bevis tyder på att han skrev den här anteckningen * medan han läste Arithmetica för första gången * (jag borde nog ha gjort det tydligare). År 1636 kunde Fermat betraktas som en toppmatematiker i sin tid, men i början av 1630-talet lärde han sig grundläggande talnummer för första gången ...
... Likaså, medan "Peer Review" var väldigt annorlunda än vad det är idag, cirkulerade Fermat manuskript av sina verk i analytisk geometri bland andra betrodda matematiker på den tiden, och vid olika tidpunkter var i korrespondens med Mersenne, Roberval och Étienne. Pascal, Carcavi och en hel del till. Han vägrade att formellt publicera sina verk (till skillnad från de flesta andra matematiker i tiden), men denna kommunikation bör fortfarande betraktas som en form av "peer review", och faktum är att han aldrig kände sig bekväm att få den påstådda FLT granskad på det sätt som de flesta av hans andra påståenden var.
Jag tycker att (1) och (3) är starka argument, men långt ifrån avgörande. Se till exempel det nyligen upptäckta polynomprimetestet. Jag tror, ​​(2) är det riktigt starka argumentet - om Ferman hade beviset hade han inte haft anledning att hitta specifika bevis för 3 och 4.
#2
+27
rogerl
2014-10-29 02:17:07 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det finns inget sätt att Fermat kunde ha haft något som närmar sig det nu allmänt accepterade beviset. Nästan inget av begreppen i detta bevis var känt i någon form under Fermats tid.

Vidare är Fermat känd för att publicera väldigt få av sina bevis; nästan ingen överlever idag, och även på 1800-talet var det betydande tvivel i det matematiska samfundet att han hade bevis för mycket av det han uppgav som faktum. (Detta är inte för att minska hans resultat; det gör det faktiskt desto mer imponerande att hans intuition ledde honom till så många resultat som senare visade sig vara sanna).

@VicAche Din föreslagna redigering är användbar, men det borde verkligen vara en kommentar, inte en del av mitt inlägg (delvis för att det är * din * tanke, inte min).
Jag lägger tillbaka det: Pascal, ungefär samtidigt som Fermat skrev, berömdes för att han INTE faktiskt gjorde de experiment som han publicerade. Detta ger lite mer perspektiv på det sammanhang där proto-forskare i C17-C18 arbetade.
@VicAche - Jag är förvirrad; om han inte gjorde experimenten, hur fick han resultatet? Har du några länkar för vidare läsning?
#3
+3
Misha
2017-02-12 22:49:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Från de bevis som vi har är det troligt att Fermat aldrig ens hävdade att ha ett bevis på FLT, se den omfattande diskussionen på Mathoverflow här. Citat från det accepterade svaret:

Inte bara vet vi inte datumet, vi vet inte ens om han skrev kommentaren alls. För allt vi vet kan det ha uppfunnits av hans son Samuel, som publicerade sin fars kommentarer.

I sina brev nämnde Fermat aldrig det allmänna fallet, utan stod ofta för att lösa ärendena. n = 3 och n = 4. Jag är nästan säker på att Fermat upptäckte oändlig härkomst omkring 1640, vilket innebär att han 1637 inte hade någon chans att bevisa FLT för exponent 4 (än mindre i allmänhet).

Denna kommentar gjordes bara för att betona vår okunnighet i denna fråga.
Det förefaller mig som om detta citat felaktigt framställer svaret från Franz: Nästa mening är * "1637 uttalade Fermat också polygonal talteori och hävdade att han hade ett bevis. Detta är ungefär lika osannolikt som i fallet med FLT - - Jag antar att Fermat inte var riktigt försiktig de här första dagarna. "*


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...