Fråga:
Vad var sambandet mellan David Hilbert och Stefan Banach?
Tom Au
2014-10-29 03:14:16 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det så kallade "Hilbert-rummet" är uppkallat efter matematikern David Hilbert. Senare generaliserades detta till "Banach-utrymmen" av Stefan Banach.

Min uppfattning är att Hilbert var tysk och Banach var polsk, och det verkade inte finnas någon "större "samband mellan dem (det vill säga inte mer än mellan två" slumpmässiga "europeiska matematiker, även om detta var en mycket liten cirkel vid den tiden). Ändå finns det en ganska stark koppling mellan Hilberts arbete och Banachs arbete.

Hur lyckades Banach ta fart på Hilberts arbete utan att känna honom väl? (Exempelvis verkar Banach ha varit mycket närmare Hugo Steinhaus från Banach-Steinhaus-satsen.) Eller arbetade de två tillsammans / kände varandra bättre än jag har gett dem kredit för?

Tre svar:
#1
+14
Michael Weiss
2014-10-30 21:36:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det är värt att notera att den abstrakta definitionen av ett Hilbert-utrymme (som ett fullständigt inre produktutrymme) inte beror på Hilbert. Weyl berättar historien i sin minnesuppsats, "David Hilbert and His Mathematical Work" (Bull. Amer. Math. Soc. V.50 s.612--654). I sitt arbete med integrerade ekvationer undersökte Hilbert endast ett särskilt Hilbert-utrymme: utrymmet av oändliga sekvenser med kvadratiska summor. Han använde inte Lebesgue-integration; först senare visade Riesz och Fischer likvärdigheten med Lebesgue kvadratintegrerade funktioner. Weyl tillägger:

Jag nämner dessa detaljer eftersom den historiska ordningen på händelserna kan ha fallit i glömska hos många av våra yngre matematiker, för vilka Hilbert-rymden antar att abstrakt konnotation som inte längre skiljer mellan två förverkliganden ...

(Det finns också en apokryf historia att Hilbert deltog i en föreläsning och kom upp i slutet för att fråga talaren, "Vad är ett Hilbert-utrymme?")

Banach däremot gav den abstrakta formuleringen av Banach-utrymmen i sin avhandling, tillsammans med hans motivation:

Detta nuvarande arbete har till syfte att fastställa vissa satser som håller i flera olika grenar av matematik, som kommer att specificeras senare. För att undvika att bevisa dessa satser för varje gren individuellt, vilket skulle vara mycket tröttsamt, har jag dock valt ett annat sätt, vilket är detta: Jag betraktar på ett allmänt sätt uppsättningar av element för vilka jag postulerar vissa egenskaper. Från dessa drar jag slutsatser och sedan bevisar jag för varje separat gren av matematik att de antagna postulaten är sanna för det.

Med andra ord söker Banach bevis på ekonomi via den axiomatiska metoden. Hans motivation skiljer sig således helt från Hilberts.

För att återgå till din ursprungliga fråga: Jag har inte kunnat avslöja någon personlig koppling mellan Hilbert och Banach. Namnet "Banach" visas inte i indexet över Constance Reids biografi Hilbert ; MacTutor-posten för Hilbert innehåller inte "Banach", och MacTutor-posten för Banach innehåller endast en gång förekomst av Hilbert, där den noterar att Banachs arbete "generaliserade bidrag från Volterra, Fredholm och Hilbert om integrerade ekvationer".

Men den ena meningen är förmodligen tillräcklig förklaring. Hilbert gjorde sitt arbete med integrerade ekvationer i början av 1900-talet, och det utvecklades snart vidare av Riesz, Fischer, Schmidt och andra. Banachs avhandling skrevs 1920. Det är knappast förvånande att Banach kommer in i detta område och lägger stor vikt vid relevant publicerat arbete av en av dagens främsta matematiker.

Att betona att Hilbert faktiskt inte studerade "sina" utrymmen på ett abstrakt sätt är verkligen en bra punkt att göra.
... även om jag tycker att det här är en intressant läsning, och det är värt att bevara, svarar det * inte * på frågan. Kan du utöka ditt svar för att faktiskt hantera huvudfrågan från OP?
OK, jag har lagt till två stycken.
#2
+9
quid
2014-10-30 01:27:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Så vitt jag vet finns det ingen särskild koppling mellan Hilbert och Banach. Naturligtvis var Hilbert en av de mest dominerande matematikerna på den tiden hans inflytande var vidsträckt.

Det skulle dock också vara fel att först anse Hilbert sedan Banach som en direkt följd. Det fanns olika influenser och bidrag till utvecklingen av de nuvarande Banach-utrymmena. [I själva verket introducerades uppfattningen nästan parallellt också av andra, särskilt Wiener. (Banach var den som gjorde mest av det och fick med rätta "namnkrediten")] Andra namn man kan nämna förutom Hilbert inkluderar Fredholm, Riesz, Fischer, Fréchet, Lebesgue.

För övrigt har kronologin i Pietschs History of Banach-utrymmen och linjära operatorer 12 poster (från 1902) före Banachs-avhandlingen 1920.

I detta sammanhang kan det också vara anmärkningsvärt Banach besökte Paris 1924-25.

#3
  0
Margaret Friedland
2020-07-12 07:41:42 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det finns inget känt register över något personligt möte mellan Banach och Hilbert. Men det inte så slumpmässiga sambandet mellan de två var Hugo Steinhaus (Banachs upptäckare, och senare medarbetare och kollega), som var doktorand till Hilbert i Göteborg. Steinhaus avhandling, med titeln {\ it Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips} och försvarade 1911 var fortfarande ganska traditionellt när det gällde variationsproblem för andra ordningens partiella differentialekvationer.

Å andra sidan, Banachs doktorsavhandling {\ it O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do r'owna'n ca \ l kowych} [Om operationer på abstrakta uppsättningar med tillämpningar på integrerade ekvationer] försvarade i Lw'ow 1920, introducerade grundläggande föreställningar och egenskaper för linjära normerade kompletta utrymmen (på ett axiomatiskt sätt) och tillämpade dem till integrerade operatörer definierade av kärnor. Den faktiska avhandlingen av Banach och dess försvar blev legender, men åtminstone finns det en publikation baserad på avhandlingen, S. Banach, {\ it Sur les op'erations dans les ensembles abstracts et leur ap plication aux 'equations int'egrales}, Fundamenta Mathematicae3 (1922), s. 133-181 ( http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/oeuvres2/305.pdf) I inledningen nämner Banach föregående arbete om '' funktionella operationer '' av Volterra, Fre'echet, Hadamard, F. Riesz, Pincherle, Steinhaus, Weyl, Lebesgue och andra. Han krediterar särskilt Hilberts verk, som enligt honom möjliggjorde behandling av (mellanslagen) kvadratiska integrerbara funktioner, inte bara smidiga funktioner. Detta är också ett bevis på att Banach studerade verk av Hilbert innan han besökte Paris.

Dessutom bodde Banach och Steinhaus 1917 båda i Krakow och deltog i möten i ett informellt matematiskt samhälle. Andra medlemmar i denna grupp var matematikerna Wlodzimierz Stozek, Wladyslaw Slebodzinski, Leon Chwistek (också en filosof och en målare) och en fysiker Jan Norbert Kroo, som alla tillbringade en tid på att studera i Göteborg.



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...