Fråga:
Irrationalitet av kvadratroten av 2
Spectre
2014-10-29 02:05:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vi vet att pythagoréerna i antikens Grekland upptäckte att kvadratroten av två är ett irrationellt tal. Varför var den upptäckten historiskt viktig? Vilket värde var den kunskapen för de forntida grekerna?

Fyra svar:
#1
+22
Mauro ALLEGRANZA
2014-10-30 20:48:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag håller inte med om några detaljer i tolkningen angående upptäckten av irrationaliteten hos $ \ sqrt {2} $ som en förvirring av

Pythagoreans [...] tro att alla siffror kan konstrueras som förhållandet mellan två siffror.

Mitt undestanding är att all "arkaisk" grekisk matematik delade antagandet (implicit) att med tanke på två storheter, t.ex. två segment av längden $ a, b $, det är alltid möjligt att hitta ett segment av "enhetslängd" $ u $ så att det mäter båda, dvs. så att [med moderna algebraiska formler som är helt främmande för grekisk matematik]:

$$ a = n \ gånger u \ \ text {och} \ b = m \ gånger u \ \ text {för lämplig} \ n, m $$

Av ovanstående förekomst av antagandet följer att: $$ \ frac {a} {b} = \ frac {n \ times u} {m \ times u} = \ frac {n} {m} $$

Antagandet innebär att man säger att förhållandet mellan två storheter alltid är ett förhållande mellan heltal (dvs. i moderna termer: ett rationellt tal) .

Men notera att för grekisk matematik är endast siffrorna de naturliga och de måste särskiljas från storheter : ett segment, ett kvadrat, ... som "mäts med" siffror.

För antika greker finns det inga rationella tal; men bara magnituder som kan mätas med multiplar av en lämplig enhet.

Upptäckten av förekomsten av irrationella magnituder genom beviset att fallet där $ a $ är sidan av torget och $ b $ dess diagonala inte kan uttryckas som ett förhållande mellan (naturliga) tal, leder grekisk matematik till att ovanstående (implicita) antagande dras tillbaka, som vi kan kalla: "antagande om rimlighet" och till geometriens axiomatisering, dvs. den systematiska ansträngningen att uttryckligen listar alla de antaganden som behövs.

#2
+14
Carlos Bribiescas
2014-10-29 02:30:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enligt den här länken säger Legenden att Hippasus först upptäckte irrationaliteten hos $ \ sqrt {2} $. Den andra länken nämner faktiskt en legend som hävdade att anhängare av Pythagoras mördade Hippasus - som påstås ha upptäckt irrationaliteten hos $ \ sqrt {2} $ på en båt mitt i havet - genom att kasta honom överbord omedelbart efter att han informerat dem av hans upptäckt.

Pythagoreerna hade tron ​​att alla tal kunde konstrueras som förhållandet mellan två nummer. (Att de var rationella) Så i grund och botten var det en stor sak eftersom det flög inför kunskapen. Allt deras arbete baserades på att rationella siffror var alla siffror.

Nya bevis som helt vänder på en grundläggande sanning har ofta mötts med hån. Även under (relativt) moderna tider ansågs Imaginary Numbers vara "fiktiva eller värdelösa, mycket som noll och de negativa siffrorna en gång var."

Btw, en bil kan väga $ \ pi $ ton, men kan inte $ 4 + 3 * \ sqrt {-1} $ ton.
Jag förstår vad du menar. Tekniskt sett kunde det om dess flödeskondensator fick väg 3i ton och resten av den vägde 4 ton.
@peterh: Kan en bil * verkligen * (ordspel avsedd) väga $ \ pi $ ton dock? Hur skulle man kunna mäta det?
@TorstenSchoeneberg För varje mätprecision kan vi ha en bil vars massa är $ \ pi $ ton med den precisionen. Observera att reella tal definieras av en ekvivalensrelation på rationals täckande serie. Vi kan inte göra detsamma med imaginär massa.
#3
+11
Colin McLarty
2014-11-12 20:05:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dessa legender finns och har varit under lång tid. Men få om några specialhistoriker om ämnet tror att pythagoreerna upptäckte irrationalitet på $ \ sqrt {2} $. Se:

Pythagoras kontra tanken på Pythagoras

Det är väldigt svårt att bedöma grekisk matematik före Euklid, än mindre före Platon, eftersom det finns så lite bevis. Den mest lästa enskilda studien av den idag är förmodligen D. H. Fowlers Mathematics of Platons Academy , och för vad det är värt tror jag att han mycket väl kan ha rätt. Kort sagt hävdar han att inkommensurabilitet var ett välkänt ämne som lätt kunde hanteras av grekiska matematiker så långt tillbaka som våra bevis kan ta oss.

#4
+7
Manjil P. Saikia
2014-10-29 17:13:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det faktum att $ \ sqrt {2} $ fanns och är irrationellt var ett slag för de forntida grekerna som bara trodde på siffror som de kunde beräkna till en viss grad av precision när det krävdes. Eller med andra ord, de var bekanta med rationella siffror. Det faktum att andra siffror existerade skulle ha haft samma typ av känslor i dem när vi först stöter på ämnen som räknbarhet och otalbarhet och kontinuumhypotesen i uppsättningsteorin. Till en början kan det tyckas att det handlar om något slags cirkulärt och fel argument men med viss tid vänjer vi oss vid det. Och kanske gjorde grekerna det.

När det gäller praktik skulle det inte ha varit mycket praktiskt för dem eftersom de inte skulle ha kunnat mäta dessa nya siffror i en grad av precision som de var används också. Men hela poängen med kunskapsinsamling är inte var man ska använda den kunskapen, men varför skulle den kunskapen finnas i första hand.

Observera att irrationella tal kan * också * beräknas till godtycklig precision med bara rationella ($ \ mathbb Q $ är tät i $ \ mathbb R $).


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...