Fråga:
Vilka gruppteoretiska resultat var kända för flera speciella fall innan den allmänna definitionen av en grupp fastställdes?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Många resultat i gruppteori bevisades för permutationsgrupper innan den allmänna definitionen av en grupp fastställdes (till exempel Lagranges sats, Sylows satser). Emellertid var permutationsgrupper inte de enda grupperna som studerades på 1800-talet, det fanns också grupper av geometriska transformationer och grupper som härrör från talteori (jag kan inte riktigt ge mer detaljer eftersom jag inte uppriktigt känner till detaljerna).

Var några allmänna gruppteori-resultat kända för flera specifika fall än bara permutationsgrupper, innan den allmänna definitionen av en grupp hade formulerats? Jag frågar för jag undrar om sådana "tillfälligheter" kunde ha motiverat den allmänna definitionen av en grupp. Som ett exempel var Lagranges teorem känd under 1800-talet både för permutationsgrupper och för den multiplikativa gruppen $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (via Euler).

Det är förmodligen värt att påpeka (även om du säkert vet det här) att varje rent gruppteoretiskt resultat som kan bevisas för permutationsgrupper gäller för abstrakta grupper av Cayleys teorem.
Oupplösbarheten av femte ordningens polynom av radikaler bevisades före Galois så vitt jag vet. Han lade upp grunden för det allmänna fallet. Du kan diskutera hur gruppteoretiskt detta är.
Två svar:
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Artikeln The Abstract Group Concept, från McTutor-arkivet, ger en redovisning av stegen mot den moderna abstrakta definitionen. Kort sagt gjorde Cayley de första snubblningsförsöken (med hänvisning till den associerande lagen uttryckligen) i en tidning från 1854, men först 1895 gav Weber den moderna definitionen i sin Lehrbuch der Algebra . Weber inkluderade oändliga grupper.

När det gäller den ursprungliga frågan: förutom Lagrange-satsen du nämner, känner jag inte till några fall där den abstrakta definitionen förenade tidigare separata resultat. Den abstrakta definitionen verkar inte ha motiverats av denna önskan. Det är dock sant att Lie-grupper inspirerades direkt av Galois permutationsgrupper, och Lies önskan att utveckla en teori för differentiella ekvationer som är analoga med Galois-teorin.

Det verkar också troligt att Weber, genom att skriva en omfattande text om Algebra, såg möjligheten att förena olika uppfattningar. Men det är bara en gissning från min sida.

Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Nästan allt" hittades innan den allmänna moderna definitionen av en grupp infördes :-) Jag är inte säker på vem som gav den första definitionen av den abstrakta gruppen (som en uppsättning med en operation som uppfyller sådana och sådana axiom). Men förmodligen hände detta under 20-talet (olika människor är erkända för detta). För matematiker från 1800-talet var en grupp en grupp av omvandlingar av en uppsättning till sig själv. Och de första djupa resultaten tillhör Lagrange och Galois.

Cayley krediteras i allmänhet den abstrakta definitionen av en grupp. Jag skulle gissa i samma tidning från 1854 där han bevisade Cayleys teorem.
@Michael Weiss: Kan du ge en referens på Cayleys papper? Tänkte han bara begränsade grupper eller godtyckliga grupper? Om detta är så bevisades alla resultat före 1854 innan den allmänna definitionen av en grupp. Framför allt Galois-teorin.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Jag har inte läst artikeln själv, därav min formulering av kommentaren.
@Michal Weiss:, jag läste första sidan och det bekräftar vad jag sa: för Cayley är ELEMETNS i gruppen "operationer" eller "transformationer", snarare elementen i någon abstrakt uppsättning :-) Jag tror inte att någon använde " ställer "systematiskt inför Cantor.
Du har rätt, men om du läser resten av artikeln hittar du honom famla mot det moderna konceptet. Under tiden har jag hittat McTutors arkivartikel som beskriver utvecklingen av det abstrakta konceptet.


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...