Fråga:
Vilka exempel ledde till den moderna definitionen av ett topologiskt utrymme?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Idag är språket för topologiska utrymmen via öppna uppsättningar grundläggande inom många olika matematiska områden, och det är lite mystiskt att samma formalism framgångsrikt fångar ett så stort antal beteenden. Jag kan tänka på flera oberoende skäl att uppfinna definitionen av en topologi, som alla skulle ha funnits på matematikernas radarskärmar runt den tidpunkt då definitionen först funderades över i början av 1900-talet:

  1. Att ge en grund för Kleins Erlangen-program och Poincares arbete med Bettisiffror och den grundläggande gruppen
  2. Att klargöra grunden för kalkyl, t.ex. kompaktitetens roll i extremvärde-satsen
  3. Att skilja mellan olika begrepp om konvergens av funktioner (vilket leder till funktionell analys)
  4. Att ge mening till argument som involverar "generiska" konfigurationer i algebraisk geometri

Min uppfattning är att det tog ganska lång tid för den moderna formalismen av topologiska utrymmen att dyka upp, så jag undrar vilka specifika resultat eller exempel var mest inflytelserika i dess utveckling? Och vilka moderna tillämpningar av teorin realiserades först efter det att den mognat?

Jag tror att Volterra och några andra (började i mitten eller slutet av 1880-talet tror jag) som började försöka förstå kalkyl av variationer genom att prata om att göra kalkyl med "kurvfunktioner" (t.ex. deras längd) och Frechets senare enande av dessa idéer i sin doktorsexamen 1906 avhandling, hade mycket att göra med utvecklingen av topologibegrepp. Se också matematik Stackexchange-frågan [Ursprunget till den moderna definitionen av topologi] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Det är en bra fråga om varför topologi införs via öppna uppsättningar. När de introducerades till min fysikklass på college verkade de tydligt imponerade och uppfattningen om öppna uppsättningar inte alls naturlig för dem. Faktum är att topologi kan införas via en generalisering av gränser - vilket jag förväntar mig att de skulle vara mycket mer naturliga. Liebniz hade redan den moderna uppfattningen om kontinuitet i embryonisk form tror jag.
Två svar:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag tror att vår moderna definition av ett topologiskt utrymme främst kom från Hausdorffs bok Grundzüge der Mengenlehre (Foundations of Set Theory), som först publicerades 1914, 2: a upplagan. 1927. Hausdorff började med metriska utrymmen, men generaliserade dem sedan.

Naturligtvis var bakgrunden till Hausdorffs arbete det 19: e arbetet med kontinuitet och den så kallade "aritmetiseringen av analysen" --- försöket att lägga kalkylen på en fast logisk grund. De största namnen här är Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano och Cantor. Men axiomatiseringen av allmän topologi i termer av öppna eller slutna uppsättningar beror på Hausdorff.

Den version jag hörde säger faktiskt att det var Hausdorff. I definitionen av ett grenrör finns det små stadsdelar som kartläggs med varandra för att öppna bollar i det euklidiska utrymmet, så att övergångskartorna där de överlappar varandra är kontinuerliga i det euklidiska rummet. Då såg Hausdorff att i definitionen av "kontinuerlig funktion" från $ X \ till Y $, behövde du inte stadsdelarna för att motsvara uppsättningar i euklidiskt utrymme, du kan bara säga för varje $ a \ i X $ och för varje grannskapet $ B $ eller $ f (a) $ i $ Y $ det finns ett grannskap $ A $ av $ a $ i $ X $ så att $ f $ mappar $ A $ till $ B $. ...
... Så då sa han: vad händer om vi tar detta som en ** definition ** av en typ av utrymme där vi kan definiera "kontinuerlig funktion". Han gav axiomer för detta, där grannskap av punkter var den primitiva uppfattningen. Senare kom andra med andra definitioner, och Hausdorffs visade sig vara ett litet speciellt fall och är nu känt som ett "Hausdorff-utrymme".
@GeraldEdgar Jag hörde samma historia, med den vridning att han anpassade definitionen av en differentiell grenrör till det mer generella kontinuerliga fallet. Även Weyl skulle vara involverad på något sätt. Men jag har inte kunnat spåra var jag läste detta. Jag kunde inte hitta den i Weyls The Concept of a Riemann Surface.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Topologiska utrymmen verkar ha sina rötter under 1800-talet århundradet. Det började indirekt med teorin om gränser och delta-epsilon-bevis. Ett stort genombrott inträffade med utvecklingen av uppsättningsteori (t.ex. DeMorgan's Laws) i mitten till senare delen av seklet. Detta ledde till "generalisering" av gräns-, konvergens- och ackumuleringspunktaxiom med teorin om öppna och slutna uppsättningar. Topologi kallas ibland för "point set" -teori.

De applikationer du citerar kom "senare", det vill säga i det tjugonde århundradet. Så gjorde de så kallade Separationsaxiomerna, som började med Hausdorff-utrymmen, 1914 och utvidgades i mitten av seklet. Men grunden för dessa applikationer lades under det föregående århundradet.

Detta svarar inte alls på frågan, som specifikt ber om * exempel på topologiska utrymmen *. Ditt svar är inte helt hjälpsamt, men jag tror att det skulle vara bättre som en kommentar.
@JackM: I frågan frågade OP: n "vilka specifika resultat eller exempel var mest inflytelserika ..." Jag svarade med "resultat", inte exempel. Du är en matematiker och du behandlar "exempel". Jag är historiker och jag arbetar med "tidslinjer". (Se våra respektive SE-rykte.) Ur ett historiskt perspektiv besvaras "vad som ledde till" väl av resultat som "gränser och delta-epsilon-bevis" samt uppsättningsteori. Så mitt svar går ända tillbaka till 1800-talet. För vissa människor kan den "stora bilden" vara lika användbar som samtida exempel.


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...