Fråga:
När och hur utvecklades den geometriska förståelsen för mätteorier?
Danu
2014-10-29 02:43:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

I teoretisk fysik är det moderna perspektivet på mätteori att det beskrivs mest elegant på "språket" i differentiell geometri. Jag är intresserad av historien bakom dessa idéer.

För det första verkar det (t.ex. denna anekdot av C.N. Yang) att "fäderna" till (fysisk) mätteori inte var medvetna om den djupa kopplingen till geometri. Jag är faktiskt inte säker på att den ganska avancerade matematiska ramen som man behöver för att förstå mätteorier var ens på plats (dvs förstås som en helt abstrakt teori) alls vid den tiden. Jag tänker men vet inte säkert att den matematiska teorin om huvudbuntar och andra relaterade matematiska objekt och / eller strukturer först utvecklades helt abstrakt innan det insåg hur användbart det var att beskriva fysik.

Jag antar att det jag ber om är en (kortfattad) redogörelse för följande:

1) Vilka var de viktigaste insikterna som gjorde det möjligt för fysiker och matematiker att förstå måttteorier i detta ljus?

2) När (och av vem?) gjordes dessa väsentliga steg först?


För intresserade är detta ett ( tangentiellt) relaterad fråga från mig, från fysik.SE

Jag tyckte att [detta] (http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/paper.pdf) papper var en rättvis redogörelse för anslutningshistoriken som innehåller lite mätarhistoria.
Två svar:
#1
+17
Logan M
2014-10-29 12:27:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag kommer att fokusera på geometrin i Yang-Mills-teorier specifikt, men som Conifolds svar påpekar studerades måttteorier geometriskt långt före Yang och Mills arbete.

Framåt till volym 5 av Atiyahs samlade verk (om måttteorier) innehåller några historiska kommentarer om detta från matematiksidan. Du kan läsa den här. Detta är förmodligen något senare än vad du letar efter, eftersom det har mer att göra med den senare studien av de djupa geometriska egenskaperna hos Yang-Mills-teorin än den (jämförelsevis) enkla tolkningen av Yang-Mills som en handling på rymden av anslutningar.

Atiyah säger att hans egna intressen för ämnet började 1977, när han säger att intresset för måttteorier bland matematiker precis började börja (med hänvisning till Yangs inflytande i matematiska kretsar). Det matchar ganska bra hans skrifter. Det första skrivet som ingår i hans samling är [1]. Denna uppsats citerar han med att ta med många av idéerna i måttteori till matematikgemenskapen. I den visar han att multi-instanton-problemet kan reduceras till att konstruera lämpliga vektorpaket på ett tredimensionellt projektivt utrymme. Byggandet slutfördes [2]. Han skrev flera fler artiklar det året och de följande åren om geometrin och topologin i Yang-Mills-fält. Hans (och andra) artiklar i slutet av 70-talet är de tidigaste jag känner till av matematiker om geometrin i Yang-Mills-teorin.

I början av 80-talet började flera andra publicera om detta ämne. Några av de stora namnen är Donaldson, Hitchin och Witten. I synnerhet visade sig Donaldsons studie av 4-grenrör via instantons i [3] vara av stort intresse. Vid den tidpunkten hade det blivit klart att Yang-Mills-ekvationerna kunde användas med stor effekt för mer än bara fysik. Det är rättvist att säga att intresset för dem fortsatte bra under 80-talet och i vissa fall fram till idag.

Den tidigare utvecklingen före detta togs nästan helt på sig av fysiker. Jag känner mindre till historien här eftersom fysiker verkar mindre benägna att skriva detaljerade redogörelser för händelsernas kronologi. Det är uppenbart att det redan 1977 var känt av fysiker att Yang-Mills kunde ses i termer av en funktion som fungerar på anslutningsutrymmet, även om de geometriska konsekvenserna inte hade undersökts. (Naturligtvis hade fysiker större problem att ta itu med innan det, som att förstå hur man kan ge mätande bosoner massa och bevisa renormaliserbarheten för kvant Yang-Mills.) Den tidigaste källan jag känner till för detta är av Popov [4] 1975. I detta visar han att den nu vanliga geometriska tolkningen av Yang-Mills via huvudbuntar och anslutningar ger Yang-Mills-ekvationerna. Det är dock mycket möjligt att några av idéerna där har sitt ursprung tidigare, även om jag inte kan se något i citaten som tyder på sådana.

Referenser :

[1] M. F. Atiyah och R. S. Ward: ”Instantons and algebraic geometry,” Comm. Matematik. Phys. 55: 2 (1977), s. 117–124.

[2] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfel'd och Yu. I. Manin: "Konstruktion av ögonblick," Phys. Lett. A 65: 3 (1978), s. 185–187.

[3] S. K. Donaldson, "An application of gauge theory to four-dimensional topology", Jour. Differentiell geometri 18 (1983), 279-315.

[4] Popov, D. A., "Theory of Yang-Mills Fields", 1975, Teor. Matta. Fiz. 24, 347.

@Danu Jag tolkade "Mätteori" här för att betyda Yang-Mills teorier, men som Conifold påpekar korrekt, går historien om matematiker som studerar mätteorier geometriskt tillbaka ganska lite innan Yang och Mills arbete, så om du föredrar den delen av historien gärna acceptera hans svar istället.
#2
+17
Conifold
2014-10-31 00:07:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag kommer att fokusera på historien före Yang-Mills papper. Den första förbudet var introduktionen av den skalära potentialen för gravitationsfältet av Lagrange 1773. År 1864 introducerade Maxwell vektorpotentialen för magnetfältet, vilket kan tolkas som en anslutningsform, vilket gör magnetteori till den första mätteorin i efterhand. I det berömda 1905-papperet gick Einstein samman med skalar- och vektorpotentialerna i en 4-potential, vilket är en anslutningsform på den fyrdimensionella bakgrunden. Samtidigt ledde utvecklingen inom differentiell geometri till en annan typ av anslutning, den Riemanniska, i form av kovarianta derivat. Christoffels symboler var den första uppkomsten av den, och Ricci och Levi-Civita utvecklade teorin baserat på "absolut differentiering" (kovarianta derivat) som systematiserades i sin 1900-bok.

Men detta kvalificerar sig som mer av en för- historia. Den verkliga historien om mätteori börjar i Hermann Weyls tidningar 1918-1920, där han drog ihop olika delar som utvecklades fram till den punkten. Ironiskt nog motiverades Weyl också av gravitationsteorin, den allmänna relativiteten. Först märkte han att man inte behöver ett Riemannian-mått för att definiera parallell transport, det som nu kallas affin anslutning räcker. Han insåg sedan att Riemannian-geometrin inte är helt lokal, längder av vektorer vid olika punkter, eftersom de är siffror, kan jämföras i absolut mening. För att lokalisera det helt bytte han till konforma mått som åtföljs av ett skalfält, i moderna terminologisektioner av en huvudbunt med fibern, den multiplikativa gruppen positiva reella tal $ R ^ + $. Transport av vågar (mätare) kräver att du anger en 1-form, en huvudanslutningsform, och att ändra dem inducerar en transformation av denna form, en gauge-transformation. Weyl formulerade sedan för första gången principen om måttinvarians, formen av naturlagar måste vara oföränderliga under lokala måttändringar.

Eftersom de formler han erhöll var identiska med de för elektromagnetism, antog Weyl att krökningen av hans skalförbindelse var exakt det elektromagnetiska fältet. Han skrev till och med kopplade ekvationer för elektromagnetiska och gravitationsfält som producerade den första enhetliga fältteorin (Kaluza föreslog sin femdimensionella teori ungefär samma tid, publicerade han 1921). Tyvärr var det opysiskt, som Einstein påpekade snart.

Weyl kom tillbaka till måttidén 1929 ur kvantmekaniskt perspektiv. Den här gången använde han i stället för skalningsfältet fasfältet, som ersätts $ R ^ + $ med U (1) som fiber. Formlerna är nästan desamma, förutom närvaron av i, han ansåg aldrig icke-abelska huvudbuntar. 1930 använde Dirac icke-triviala U (1) -buntar för att beskriva magnetiska monopol. Denna utveckling beskrivs i detalj av Varadarajan i hans undersökningsdokument.

Efter Weyl skiljer sig de matematiska och de fysiska banorna än en gång. Elie Cartan använde specialiserade anslutningar för att studera Pfaffian-system 1926, de levde på fiberbuntar med fibrer som var homogena utrymmen (Kleinian-geometrier), hans arbete förstärkte synen på anslutningar som matrisvärderade 1-former. Två stora utvecklingar kom 1950, Koszul gav en allmän algebraisk beskrivning av anslutningar på vektorknippen som kovarianta derivat och eliminerade behovet av icke-spänningsföremål som Christoffelsymboler. Ehresmann, Cartans student, gav äntligen en allmän definition av anslutning på en huvudbunt, Abelian eller inte, och klargjorde det allmänna förhållandet mellan förbindelser med huvudbunt och tillhörande buntar. Hans uppfattning om anslutning var dock mycket abstrakt, en horisontell fördelning i tangentbunten till det totala utrymmet, som kan användas för att definiera parallelltransporten direkt.

När Yang och Mills i sin tidning introducerade den första icke-abelska mätteorin (med SU (2) som en fiber) 1954 var de inte medvetna om denna matematiska utveckling, förhållandet mellan huvudanslutningarna och mätfält var klargjorts under åren efter publiceringen.

Weyls idéer beskrivs i betydande detalj tillsammans med arbetet med Utiyama och Yang och Mills i Dawning of Gauge Theory av Oraifeartaigh se http://www.amazon.com/Dawning-Gauge-Theory-Lochlainn-ORaifeartaigh/dp/0691029776 till exempel .
4-potentialen introducerades av Minkowski i hans berömda 1907-tidning, inte av Einstein.


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...