Fråga:
Forntida kinesiskt numreringssystem
rogerl
2014-10-29 02:13:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det har sagts att uppfinningen av noll var ett stort steg framåt, inte bara i abstrakt förståelse utan i förmågan att införa platsvärdering och göra beräkningar; datoranvändning med romerska siffror var särskilt klumpig.

De forntida kineserna hade dock inte riktigt antingen platsvärde och hade ingen symbol för noll. Ändå upptäckte den kulturen många ganska avancerade aritmetiska resultat (till exempel den kinesiska restsatsen).

Så vad var det egentligen med uppfinningen av noll i västerländsk kultur som var så användbar?

Enligt min förståelse var det det faktum att det undvikdes. Till exempel skulle algebras grundläggande sats ha sagts tidigare om negativa kvadratrötter accepterades mjukare.
Abstraktion. Värdet av abstraktion är att det gör det möjligt för oss att arbeta formellt, utan hänsyn till mening. Uppfinningen av noll var viktig eftersom den ökar abstraktionsnivån och därmed minskar behovet av att hålla reda på betydelsen.
Fyra svar:
#1
+19
Will Orrick
2014-10-31 08:37:27 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det har sagts att uppfinningen av noll var ett stort steg framåt, inte bara i abstrakt förståelse utan i förmågan att införa platsvärdering och göra beräkningar; datorer med romerska siffror var särskilt klumpiga.

Noll är inte nödvändigt för att ha ett platsvärde-system. Inte heller är noll nödvändigt (eller tillräckligt) för att utveckla sofistikerad matematik. Mesopotamierna hade ett platsvärdesystem senast 1800 fvt, men hade ingen symbol för noll vid den tiden. Deras var ett sexagesimalt (bas-60) system. Där vi skulle sätta noll, lämnade de ett tomt utrymme. (Men bara mellan siffror, och inte som en efterföljande siffra, som innebar att en rad siffror endast definierade ett tal upp till en effekt på 60 (vilket effektivt skulle kunna vara negativt). Storleken på ett tal måste vara framgår av sammanhanget.) Vid omkring 200 f.Kr. hade mesopotamierna infört en platshållare noll, men det finns inga bevis för att nollan behandlades som ett fristående nummer.

Grekerna använde ingen plats värdesystem (även om Archimedes utformade ett system för specialvärde för att hantera mycket stora siffror i The Sand Reckoner ) och kände inte igen noll som ett tal. Ändå uppnådde de stora saker i matematiken, inklusive att utveckla en sofistikerad axiomatisk geometri, bevisa irrationaliteten i kvadratroten av 2, bevisa oändligheten hos primtallarna, utveckla en sofistikerad teori om förhållanden av oföränderliga storheter, utveckla metoden för utmattning och använda det för att beräkna sfärens volym och området för ett paraboliskt segment, utveckla teorin om koniska sektioner och så vidare.

Mayorna, år 1000 e.Kr. (och förmodligen långt innan), hade ett platsvärdesystem som använde noll. Deras var ett vigesimalt (eller bas-20) system. Dessutom behandlades noll som ett tal: räkningen startade från noll snarare än en i deras kalender. Deras kalender var ganska sofistikerad och de hade också en välutvecklad astronomi. Ändå verkar det inte som att deras matematik avancerade mycket långt (även om det är svårt att säga säkert, eftersom majoriteten av deras artefakter förstördes). Det finns till exempel inga bevis för att de hade en anständig multiplikationsalgoritm.

Exemplet med Kina har tagits upp i det andra svaret. Stångsiffran / räknesystemet var verkligen ett platsvärdesystem. I det systemet indikerades en tom plats genom att lämna ett gap snarare än genom en uttrycklig noll. Många av problemlösningarna i klassiska kinesiska matematiska texter formulerades som steg för att genomföra en beräkning på räkningsbordet. Att utveckla något som den kinesiska återstående satsen kräver ingen noll. Begreppet "lämnar resten noll" kan alltid formuleras som "delas jämnt". (En liknande formulering skulle ha använts i grekisk matematik.) Som redan nämnts hade räkningsföretaget en implicit platshållare noll, men inte en fullfjädrad noll. Räkneverksteknologin var tillräckligt kraftfull för att möjliggöra många stora prestationer, till exempel en mycket exakt uppskattning av pi.

Så vad var det egentligen med uppfinningen av noll i västerländsk kultur som var så användbar?

Den moderna nollan uppfanns faktiskt i Indien. Kunskapen om det indiska systemet sprids först till den islamiska världen och senare till Europa. Indianerna visste hur man skulle göra aritmetik med noll och introducerade tanken att $ 1/0 $ ger ett oändligt resultat.

Jag tycker att det är uppenbart att effektiva beräkningssystem kan utvecklas utan att ett uttryckligt noll erkänns. Det betyder inte att erkännandet av noll som tal inte var extremt viktigt. För att bara nämna ett exempel blir teorin om polynomers rötter mycket mindre besvärlig när noll (och negativa tal) känns igen. Innan det hände involverade teorin en komplicerad analys från fall till fall. Den algebraiska lösningen av kubik och kvartik, upptäckt av del Ferro, Fontana, Cardano och Ferrari under renässansen, liksom tidigare arbete av Omar Khayyam, såg ekvationerna $ x ^ 3 = a $, $ x ^ 3 + bx = a $, $ x ^ 3 = bx + a $, $ x ^ 3 + bx ^ 2 + cx = d $, och så vidare, som olika ekvationer, var och en kräver individuell behandling. Förmågan att behandla sådana uppsättningar relaterade ekvationer på ett enhetligt sätt accelererade verkligen framsteg.

#2
+12
user22
2014-10-29 02:56:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det framgångsrika numreringssystemet hade inte 0, inte ens som platshållare, på grund av att de inte behövde det, enligt University of St. Andrews webbplats kinesiska siffror, på grund av att de utvecklade ett system som hade symboler för de större värdena, dvs

enter image description here

Men

en andra form av kinesiska siffror började användas från den 4: e århundradet f.Kr. när räknebrädor togs i bruk. Ett räknebräda bestod av ett kontrollbräde med rader och kolumner.

enter image description here

(Båda bilderna är från länken ovan).

För att representera en '0' platshållare lämnades en lucka i stället.

Xiahou Yangs Xiahou Yang suanjing (Xiahou Yangs matematiska handbok) skriven på 500-talet e.Kr. konstaterar att för att multiplicera ett tal med 10, 100, 1000 eller 10000 är allt som behöver göras att stavarna på räknebrädet flyttas till vänster med 1, 2, 3 eller 4 rutor. På samma sätt för att dela med 10, 100, 1000 eller 10000 flyttas stavarna åt höger med 1, 2, 3 eller 4 rutor. Det som är betydelsefullt här är att Xiahou Yang verkar förstå inte bara positiva krafter på 10 utan också decimalfraktioner som negativa krafter på 10.

Betydelsen för västerländska idéer, enligt YaleGlobals webbartikel The History of Zero (Wallin, 2002), ursprungligen var zero en platshållare (i betydelsen att den används för tiotals, hundratals, tusentals etc). Enligt artikeln var det i Indien där begreppet noll började få betydelse av sig självt omkring 700-talet.

Nollens betydelse i västerländsk kultur när den anlände till Europa i mitten av 12: e århundradet genom Spanien och via Fibonacci i början av 1200-talet, för att få handlare ett mer effektivt sätt att balansera sina böcker med

Fibonachas utveckling fick snabbt uppmärksamhet av italienska köpmän och tyska bankirer, särskilt användningen av noll. Bokförare visste att deras böcker var balanserade när de positiva och negativa beloppen på deras tillgångar och skulder var lika med noll.

Detta fick numret förbjudet, så det fick namnet "chiffer" i handelsbaserade krypterade meddelanden för att övervinna förbudet.

Rene Descarte kunde utveckla användningen av noll i vad vi känner som kartesiskt koordinatsystem. Med ursprunget till koordinatsystemet som inträffar vid (0,0).

Därifrån var förmodligen den största innovationen med begreppet noll från dilemmaet att dividera med noll, vilket (från artikeln):

På 1600-talet löste Newton och Leibniz detta problem oberoende och öppnade världen för enorma möjligheter. Genom att arbeta med siffror när de närmar sig noll föddes kalkylen utan vilken vi inte skulle ha fysik, teknik och många aspekter av ekonomi och ekonomi.

Diskuterar den boken de framsteg som kineserna uppnått utan antingen noll eller platsnotering?
Nej, de fokuserade på din huvudfråga angående effekterna på västerländsk kultur - de kinesiska innovationerna kunde nästan vara en separat fråga.
Hmmm ... då ställde jag min fråga dåligt. Ja, jag var intresserad av varför noll var ett sådant framsteg ... men det jag verkligen försökte fråga var "varför kunde kineserna göra så mycket som de gjorde utan noll". Att kanske besvara den frågan belyser varför uppfinningen av noll var (eller inte var) ett vattendrag.
Denna fråga är som den är mycket giltig - eftersom introduktionen av begreppet "0" i Europa hade en monumental effekt (som anges i mitt svar). Den kinesiska aritmetiken skulle vara en stor ytterligare fråga - jag tror är en helt annan aspekt.
@rogerl Jag har hittat en bra resurs för vad kineserna använde - jag kommer att redigera det till svaret
Jag är fortfarande förbryllad över hur ska du skilja mellan 10, 100, 1000, ... När vi skriver dem på ett tomt pappersark med ett nummersystem som inte har "0" som platshållare.
#3
  0
Tyler Durden
2016-01-06 01:14:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Värdet av ett digitalt system för inspelning av nummer är att det möjliggör en mer kortfattad och förståelig metod för att göra aritmetiska beräkningar. Innan hinduiska siffror användes var det vanligt att använda kompositsystem (som romerska siffror). Så till exempel är 83 LXXXIII. Det moderna digitala systemet har sitt ursprung i Fibonacci i Liber Abaci , men det tog bokstavligen hundratals år innan det användes systematiskt. Under lång tid var det en kamp mellan "abacisterna och algoritmisterna" om vilket system som var bättre. Det var till och med tävlingar och turneringar där de två olika skolorna skulle tävla huvud mot huvud i snabba tilläggsmatcher.

Så småningom blev det klart att lägga till och multiplicera digitala nummer var enklare än att arbeta med bråk- eller sammansatta värden. Detta inträffade med publiceringen av Napier s Mirifici Logarithmorum, som redigerades och förbättrades av Edward Wright 1616. Först märktes Napiers bok bara av miniräknare, men efter att John Wallis antog sina metoder omkring 1660 användes av digital notation och decimaler blev universell och avgörande.

De var redan vanliga i Surya Siddhanta, åtminstone 4-talet, antagligen lika gamla som Rg Veda. Astronomi använde begrepp som Yuga och Kalpa och använde antal banor i varje
#4
  0
Partha Shakkottai
2019-07-21 03:12:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

0 och platsvärdesbegreppet krävs för god aritmetik. Utan den hade inte modern vetenskap, teknik och astronomi och en exakt kalender- och navigeringstabell utvecklats. Ett exempel visas nedan.

Betydelsen av 0 är för exakt praktisk användbarhet och inte bara föreställda fördelar med enkla beskrivningar.

Formeln Bakhsh1ali (från manuskript från 400-talet)

Antag att vi vill hitta sqrt (N), där N> 0. Vi uttrycker N som N = A ^ 2 + b, där | b | är liten i jämförelse med A (så liten som möjligt inom gränserna för lätt gissning

Genom att ta A = 3 och b = 1, är fraktionen 3 och 1/6 = 3.167; beräkning med endast rationella operationer , dvs +, -, *, /). Med linjär approximation sqrt (1 + x) = 1 + x / 2,

för x ~ 0 (detta är tangent approximationen) får vi: sqrt (A ^ 2 + b) = A + b / 2A.This formel, som var känd för babylonierna, ger ganska bra approximationer; till exempel för SQRT (10) ger den, A = 3 och b = 1, fraktionen 3 1⁄6 = 3,167 jämfört med 3: 162.

Men Bakhsh1ali-formeln går längre genom att infoga en extra term. Den säger i själva verket: I fallet med ett icke-kvadratiskt tal, subtrahera närmaste kvadratnummer, dela resten med två gånger detta närmaste kvadrat; halva kvadraten av detta divideras med summan av den ungefärliga roten och fraktionen. Detta subtraheras och ger den korrigerade roten. Efter att man har dechiffrerat detta recept blir det motsvarande följande formel: (A ^ 2 + b) ^ 1/2 = A + b / 2A - (b / 2A) ^ 2/2 (A + b / 2A

Till exempel, om N = 11 kan vi ta A = 3 och b = 2. Formeln ger sedan: 3 + 1/3 - 1/9 / 2 (3 + 1/3) = 3 + 1 / 3-1 / 60 = 3.31667

Jämför detta med det sanna värdet: (11) ^ 1/2 = 3.31662. Vi ser att även om b långt ifrån är `` litet '' jämfört med A, har vi fortfarande noggrannhet med fyra decimaler.

Väljer A = 3,3 och b = 11- 3,3 ^ 2 hoppar noggrannheten upp till 79201/23880 vilket är 3,316624790, exakt till 9 decimaler. från

https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/017/09/0884-0894



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...