Fråga:
Vad motiverade Cantor att uppfinna uppsättningsteori?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jag kan inte föreställa mig matematik utan uppsättningar, men frågan "hur var matematik innan det fanns uppsättningar" kan jag inte svara på. Istället bör ett bra svar på titelfrågan täcka en viss aspekt av den mer allmänna frågan.

Jag tror att en uppfattning om att hitta grunden för matematik också var på spel. Om Cantor är ny om detta är jag inte säker på.
Jag vet inte om den här länken redan finns i den här tråden men jag tycker att jag borde dela den här. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Tack @ankit, det är en mycket trevlig och absolut relevant artikel.
Naturligtvis kan du inte föreställa dig matematik utan uppsättningar - matematik före formell uppsättningsteori är inte detsamma som "matematik innan det fanns uppsättningar". Precis som * algoritmer * existerade för alltid, trots att formaliseringen inte är 150 år gammal, använde människor alltid korsningar av samlingar (* uppsättningar *) och så vidare.
Tre svar:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cantors omedelbara motivation att arbeta med vad som blev uppsättningsteori var hans tidigare arbete med trigonometriska serier. För att lösa ett problem inom den domänen ansåg han uppsättningen (en sluten uppsättning) av nollor för en sådan funktion, sedan den härledda uppsättningen för denna uppsättning, den härledda uppsättningen för denna uppsättning och så vidare. Allt detta är fortfarande klassiskt, men måste sedan gå ett steg utöver det för att först överväga skärningspunkten mellan alla dessa uppsättningar och sedan den härledda uppsättningen av den uppsättningen och så vidare.

Så han kom att överväga transfinite ordinals.

Detta diskuteras på olika platser, inklusive "Set Theory and Uniqueness of Trogonometric Series" av Kechris eller " Unikhet med trigonometriska serier och beskrivande uppsättningsteori, 1870–1985 "av Roger Cooke (Archive for History of Exact Sciences, 1993)

Originalet är (tror jag) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math Annalen, 1872) "

En annan motivation var hans tidigare arbete med talteori. Med hjälp av det som nu kallas ett diagonaliseringsargument kunde han bevisa resultat på existensen av transcendentala tal. Detta är i hans 1874-tidning "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Om en egenskap av samlingen av alla verkliga algebraiska siffror")

Kort sagt var den ursprungliga motivationen att ha bättre verktyg för att göra framsteg med befintliga problem.

Har du referenser till den första punkten?
Jag lade till några referenser.
Förutom de referenser du föreslår, är den vanliga platsen att läsa om detta Jourdains förord ​​till hans översättning av Cantor's Math. Annalens memoarer, [* Bidrag till grundandet av teorin om transfinita nummer *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
Den mest detaljerade diskussionen jag känner till på engelska för Cantors trigonometriska serier är Daubens * Den trigonometriska bakgrunden till Georg Cantors teori om uppsättningar *. När det gäller Cantor som utvidgar argumentet för räknbarhet från rationella till algebraiska siffror, härstammar detta från Dedekind i brev till Cantor. Engelska översättningar av relevanta bokstäver finns på s. 844-850 i Ewalds bok (referens ** [7] ** [här] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinity-inflytande-kantor)). Se även s. 177-186 i Ferreirós bok från 1999 och hans Historia Math från 1993. papper.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Egentligen arbetade Cantor med ett specifikt problem från teorin om trigonometriska serier, det så kallade unika problemet (jag kan inte vara mer specifik förrän MathJax introduceras till den här webbplatsen). Detta problem ledde honom till övervägande av godtyckliga uppsättningar på den verkliga linjen. Jag menar mer komplicerade uppsättningar än ändliga uppsättningar eller ändlig sammansättning av intervall. Vid den tiden fanns inga verktyg och ingen terminologi för att studera godtyckliga uppsättningar, så allt detta måste skapas.

Under processen med denna studie skapade han inte bara uppsättningsteorin utan också det som kallas nu Allmän topologi . (In är intressant att märka att det ursprungliga problemet med trigonometriska serier inte har någon fullständig lösning den här dagen :-)

Den ursprungliga bevismetoden, den så kallade "diagonala proceduren" går tillbaka till Cantors föregångare, Paul du Bois Reymond, som också studerade trigonometriska serier.

Ledsen för nit-pick men det är andra gången jag märker det: MathJax inte MathJack.
Dessutom uppstod det diagonala förfarandet i en miljö som inte är relaterad till studien av trigonometriska serier. [Här] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) är några detaljer. Och [här] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) är ett citat av Hardy som kanske förklarar varför du Bois-Reymond inte är bättre känd.
Du har helt rätt. Det diagonala förfarandet användes för frågorna "orden av oändlighet". Men du Bois-Reymond studerade också trig-serier, bara en intressant slump :-)
@quid: Tack! Du kan faktiskt redigera texten när du upptäcker feltryck.
Tyvärr har jag ännu inte tillräckligt med poäng här för att redigera, och för föreslagna ändringar finns det en teckenbegränsning.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enligt Cantor själv var det hans önskan att ersätta den mekaniska förklaringen av naturen med en mer fullständig teori. Se flera aspekter i Vad av Cantors påståenden har blivit sanna??



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...