Fråga:
Vad är skillnaden mellan Newtons kalkyl och Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Finns det några skillnader mellan Newtons studie av Calculus jämfört med Leibniz? Om ja, ange punkt för punkt.

Relaterat på Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- gjorde-newton-och-leibniz-faktiskt-gör-kalkyl, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Fem svar:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Newtons notation, Leibniz notation och Lagrange notation används alla idag till viss del, de är respektive:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Du kan hitta fler noteringsexempel på Wikipedia.

Standardintegrationen ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) utvecklades också av Leibniz. Newton hade ingen standardnotation för integration.

Jag har läst följande från "The Information" av James Gleick: Enligt Babbage som så småningom tog Lucasian professor i Cambridge som Newton höll, Newtons notering förlamade matematisk utveckling. Han arbetade som grundutbildare för att inrätta Leibniz notation som den används idag i Cambridge trots den avsmak som universitetet fortfarande hade på grund av Newton / Leibniz-konflikten. Denna notation är mycket mer användbar än Newtons i de flesta fall. Det innebär dock att det kan behandlas som en enkel fraktion som är felaktig.

* Det innebär dock att det kan behandlas som en enkel fraktion som är felaktig. * Inte sant. För en bra diskussion om detta, se Blaszczyk, Katz och Sherry, Ten Misconcepts from the History of Analysis and Their Debunking, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Som förklarats i Blaszczyk-tidningen fick Leibniz i princip detta helt rätt, inklusive vad som i NSA nu kallas skillnaden mellan kvoten dy / dx och derivatet, som är standarddelen av kvoten.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Utöver frågan om notering experimenterade Newton med ett antal grundläggande tillvägagångssätt. En av de tidigaste involverade oändliga djur, medan han senare skakade bort från dem på grund av filosofiskt motstånd från hans samtida, ofta som härrör från känsliga religiösa överväganden som är nära besläktade med mellanstridiga stridigheter. Leibniz var också medveten om grälen, men han använde infinitesimals och skillnader systematiskt för att utveckla kalkylen, och av den anledningen lyckades han attrahera anhängare och stimulera forskning - eller vad han kallade Ars Inveniendi .

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Du bör definitivt ta en titt på det andra kapitlet i Arnolds Huygens & Barrow, Newton & Hooke . Den avlidne prof.Arnold sammanfattade där skillnaden mellan Newtons tillvägagångssätt för matematisk analys och Leibniz enligt följande:

Newtons analys var tillämpningen av kraftserier på studiet av rörelse ... För Leibniz, .. analys var en mer formell algebraisk studie av olika ringar.

Arnolds översikt över Leibniz bidrag till temat kryddas med ett icke försumbar antal tankeväckande kommentarer:

I arbetet med andra geometrar - t.ex. Huygens och Barrow - uppträdde också många föremål kopplade till en given kurva [till exempel: abscissa, ordinat, tangent, tangentens lutning, området för en kurvlinjär figur, subtangenten, det normala, det subnormala och så vidare] ... Leibniz med sin individuella tendens till universalitet [han ansåg nödvändigt att upptäcka den så kallade egenskapen, något universellt, som förenar allt inom vetenskapen och innehåller alla svar till alla frågor], bestämde att alla dessa kvan på samma sätt. För detta introducerade han en enda term för någon av de kvantiteter som är kopplade till en given kurva och som uppfyller någon funktion i förhållande till den givna kurvan - termen funktion...

Således , enligt Leibniz var många funktioner associerade med en kurva. Newton hade en annan term - flytande - som betecknade en flytande mängd, en variabel mängd och därmed associerad med rörelse. På grundval av Pascals studier och hans egna argument utvecklade Leibniz ganska snabbt formell analys i den form som vi nu känner till den. Det vill säga i en form som är särskilt lämplig för att lära ut analyser av människor som inte förstår det för människor som aldrig kommer att förstå det ... Leibniz etablerade ganska snabbt de formella reglerna för att fungera med oändliga djur, vars innebörd är obskär.

Leibniz metod var som följer. Han antog att hela matematiken, liksom hela vetenskapen, finns i oss, och med hjälp av enbart filosofin kan vi drabbas av allt om vi noggrant tar hänsyn till processer som förekommer i vårt sinne. Med denna metod upptäckte han olika lagar och ibland mycket framgångsrikt. Till exempel upptäckte han att $ d (x + y) = dx + dy $ , och denna anmärkningsvärda upptäckt tvingade honom genast att tänka på vad en produkts skillnad är . I enlighet med de allmänna tankarna kom han snabbt fram till att differentiering [måste vara] en ringhomomorfism, det vill säga att formeln $ d (xy) = dx dy $ måste hålla. Men efter en tid verifierade han att detta ledde till några obehagliga konsekvenser och fann rätt formel $ d (xy) = xdy + y dx $ , som nu kallas Leibniz regel. Ingen av de induktivt tänkande matematikerna - varken Barrow eller Newton, som följaktligen kallades en empirisk åsna i den marxistiska litteraturen - kunde [ha någonsin fått] Leibniz ursprungliga hypotes i hans huvud, eftersom det för en sådan person var ganska uppenbart vad skillnaden mellan en produkt är, från en enkel ritning ...

Arnolds påstående att Leibniz "kom fram till" att $ d (xy) = dxdy $ är ett fel som har diskuterats utförligt någon annanstans. Leibniz gjorde inte ett sådant påstående utan tvärtom frågade om detta var sant. Och nog kom han till slutsatsen att det inte var så, tillräckligt snart. Arnolds sarkastiska ton härrör troligen från hans misstro (efter Berkeley och Cantor?) Av oändliga djur, vilket också är uppenbart i några absurda påståenden som han här gör om den påstådda "dunkel" av deras betydelse.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ur praktisk synvinkel var notationen väldigt annorlunda.

En speciell öm punkt för mig är att Leibniz-notationen låter dig felaktigt arbeta med derivat som om de vore en matematisk bråkdel. Tyvärr "fungerar" det mycket av tiden så det används fortfarande, även på högskolekurser, idag.

Jag tror inte att det är något fel med genvägar, upp till den punkt att de inte ' inte störa förståelsen. I det här fallet tror jag att det skapar ett missförstånd om ämnet. Det här ensam tror jag sätter Newtons notation ovanför Leibniz.

Tack @carlosbriebiescas för insikten, jag kommer att läsa den just nu, är detta dock den enda skillnaden?
-1: Jag är rädd att påståenden som dessa är baserade på ett missförstånd mellan Leibniz och på den historiska användningen av ordfunktionen. För detaljer se till exempel dessa diskussioner: [Om d / dx är en operatör, vad fungerar den?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) och [Polymorfiska funktioner i vektorräkning] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Från Loemkers översättning,

"Leibniz resonemang, även om det strävar efter en bredare tillämpning av lagen om inversa kvadrater än för gravitation ensam, är mindre allmän än Newtons Propositions I, 2, 14), eftersom det förutsätter harmonisk rörelse. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Philosophical Papers and Letters: A Selection / Translated and Edited, with en introduktion av Leroy E. Loemker. 2: e utgåvan Dordrecht: D. Reidel, 1970. s.362



Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...